Przypomnijmy: Największy kąt leży naprzeciwko najdłuższego boku.

---

a)

Najdłuższy bok w tym trójkącie to $c=8$. Obliczamy $\cos \gamma$ korzystając z twierdzenia cosinusów 

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{6^2+7^2-8^2}{2\cdot 6\cdot 7}=\frac{36+49-64}{84}=\frac{21}{84}=\frac{1}{4}$

Otrzymaliśmy $\cos \gamma >0$,  zatem kąt $\gamma$ to kąt ostry.

Środek okręgu opisanego na tym trójkącie (jest to trójkąt ostrokątny) leży wewnątrz trójkąta.

---

b)

Najdłuższy bok w tym trójkącie to $a=9$. Obliczamy $\cos \alpha$ korzystając z twierdzenia cosinusów 

$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{6^2+4^2-9^2}{2\cdot 6\cdot 4}=\frac{36+16-81}{48}=-\frac{29}{48}$

Otrzymaliśmy $\cos \alpha <0$,  zatem kąt $\alpha$ to kąt rozwarty.

Środek okręgu opisanego na tym trójkącie (jest to trójkąt rozwartokątny) nie leży wewnątrz trójkąta.

---

c)

Najdłuższy bok w tym trójkącie to $b=2\sqrt{2}$. Obliczamy $\cos \beta$ korzystając  z twierdzenia cosinusów 

$\cos \beta =\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{2^2+1^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}{2\cdot 2\cdot 1}=\frac{4+1-8}{4}=-\frac{3}{4}$

Otrzymaliśmy $\cos \beta <0$, zatem kąt $\beta$ to kąt rozwarty.

Środek okręgu opisanego na tym trójkącie (jest to trójkąt rozwartokątny) nie leży wewnątrz trójkąta.

---

d)

Najdłuższy bok w tym trójkącie to $a=4$. Obliczamy $\cos \alpha$ korzystają z twierdzenia cosinusów  

$\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+2^2-4^2}{2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2}=\frac{12+4-16}{8\sqrt{3}}=\frac{0}{8\sqrt{3}}=0$

więc:

$\alpha =90^{\circ }$

Zatem jest to trójkąt prostokątny. 

Środek okręgu opisanego na tym trójkącie (jest to trójkąt prostokątny) nie leży wewnątrz trójkąta (leży na przeciwprostokątnej tego trójkąta).