Aby wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność

$3a^2-2ab+3b^2\ge 0$

przekształcimy odpowiednio lewą stronę nierówności.

Możemy powyższą nierówność zapisać w postaci

$3a^2-2ab+3b^2\ge 0$

$2a^2+\underset{=(a-b{)}^2}{\underbrace{a^2-2ab+b^2}}+2b^2\ge 0$

$\underset{\ge 0}{\underbrace{2a^2}}+\underset{\ge 0}{\underbrace{{\left(a-b\right)}^2}}+\underset{\ge 0}{\underbrace{2b^2}}\ge 0$

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, to lewa strona powyższej nierówności również jest liczbą nieujemną, jako suma liczb nieujemnych. Wynika stąd, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ ta nierówność jest prawdziwa.

Ponieważ jest ona równoważna nierówności

$3a^2-2ab+3b^2\ge 0$

to powyższa nierówność również jest prawdziwa, co należało wykazać.