Równania i nierówności z podwójną wartością bezwzględną

1. Usuń zewnętrzny moduł, rozbijając wyrażenie na dwa przypadki:
  – dla wyrażeń równych → dwa równania,
  – dla nierówności → dwie nierówności, zgodnie z zasadami dla wartości bezwzględnej.
2. Rozwiąż oba przypadki. Otrzymasz równania/nierówności z jedną wartością bezwzględną.
3. Rozbij ponownie (jeśli trzeba), aż pozbędziesz się wszystkich wartości bezwzględnych.
4. Zbierz rozwiązania:
  – dla równań → zapisz wspólny zbiór wszystkich rozwiązań,
  – dla nierówności → wyznacz część wspólną lub sumę przedziałów (zależnie od znaku               nierówności)

Przykład 5. Rozwiąż równania:

a)   $\left|\left|x\right|-5\right|=4$       $\left|x\right|-5=4\vee \left|x\right|-5=-4$          $\left|x\right|=9\left|x\right|=1$            $x=\pm 9x=\pm 1$                $x\in \left\{-9,-1,1,9\right\}$

b)   $\left|\left|x+2\right|+3\right|=6$         $\left|x+2\right|+3=6\vee \left|x+2\right|+3=-6$              $\left|x+2\right|=3\left|x+2\right|=-9$         $x+2=3\vee x+2=-3x\in \varnothing$             $x=1x=-5$                                           $x\in \left\{-5,1\right\}$