$\text{II.}$ Podzielność przez 3:

$1^{\circ }$ $k$ lub $m$ jest liczbą podzielną przez $3$.

Wtedy iloczyn $km$ dzieli się przez $3$, więc liczba $km\left(k-m\right)\left(k+m\right)$ jest podzielna przez $3$. 

$2^{\circ }$ $k$ i $m$ są liczbami niepodzielnymi przez $3$.

Wtedy zachodzi jedna z następujących sytuacji:

• Liczby $k$ i $m$ mają różne reszty z dzielenia przez $3$, np. $k=3p+1$, $m=3q+2$  ($p$, $q\in \mathbb{Z}$).
  Wtedy $k+m=3p+1+3q+2=3p+3q+3=3\left(p+q+1\right)$, gdzie $p+q+1\in \mathbb{Z}$.
  Zatem $k+m$ jest podzielne przez $3$, więc $km\left(k-m\right)\left(k+m\right)$ dzieli się przez $3$.
• Liczby $k$ i $m$ mają tę samą resztę z dzielenia przez $3$, np. $k=3p+1$, $m=3q+1$  ($p$, $q\in \mathbb{Z}$).
  Wtedy $k-m=3p+1-\left(3q+1\right)=3p+1-3q-1=3\left(p-q\right)$, gdzie $p-q\in \mathbb{Z}$. Analogicznie w przypadku reszty $2$.
  Zatem $k-m$ jest podzielne przez $3$, więc $km\left(k-m\right)\left(k+m\right)$ dzieli się przez $3$.

Podsumowując, liczba $k^{3}m-k{m}^3$ dzieli się przez $2$ i $3$, więc dzieli się przez $6$.               $■$