Rozwiązanie

Założenia: $k,m\in \mathbb{Z}$

Teza: $k^{3}m-k{m}^3=6l$, gdzie $l\in \mathbb{Z}$

Dowód:

$k^{3}m-k{m}^3=km\left(k^2-m^2\right)=km\left(k-m\right)\left(k+m\right)$

$\text{I.}$ Podzielność przez 2:

$1^{\circ }$ $k$ lub $m$ jest liczbą parzystą.
Wtedy iloczyn $km$ jest parzysty, więc liczba $km\left(k-m\right)\left(k+m\right)$ jest podzielna przez $2$.

$2^{\circ }$ $k$ i $m$ są liczbami nieparzystymi.
Wtedy $k-m$ i $k+m$ to liczby parzyste, więc liczba $km\left(k-m\right)\left(k+m\right)$ jest podzielna przez $2$.