Wiedząc, że liczba $k$ daje resztę $2$ w dzieleniu przez $7$, chcemy udowodnić, że reszta z dzielenia liczby $3k^2$ przez $7$ jest równa $5$.

Zwróćmy uwagę, że liczbę $k$ można zapisać jako

$k=7m+2$

dla pewnej liczby całkowitej $m$. Stąd otrzymujemy, że

$3k^2=3\cdot {\left(7m+2\right)}^2=3\cdot \left(7^2{m}^2+2\cdot 7m+2^2\right)=147m^2+42m+12=7\cdot 21m^2+7\cdot 6m+7\cdot 1+5=7\left(21m^2+6m+1\right)+5$

Otrzymaliśmy, że liczba $3k^2$ jest sumą iloczynu liczby $7$ z liczbą całkowitą oraz liczby $5$. To oznacza, że liczba $3k^2$ daje resztę $5$ w dzieleniu przez $7$, co należało udowodnić.