Wzór skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb $x$ i $y$ zachodzi: $x^2-y^2=\left(x-y\right)\left(x+y\right)$

---

Chcemy udowodnić, że dla nieujemnych liczb rzeczywistych $x$, $y$ prawdziwa jest nierówność

$x^3+y^3\ge x^{2}y+x{y}^2$

Przenieśmy wszystkie składniki na lewą stronę, a następnie zbadajmy znak wyrażenia

$x^3-x^{2}y+y^3-x{y}^2=\left(x^2\cdot x-x^2\cdot y\right)+\left(y^2\cdot y-x\cdot y^2\right)=x^2\left(x-y\right)+y^2\left(y-x\right)=x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\cdot \left(x^2-y^2\right)=\left(x-y\right)\cdot \left(x-y\right)\cdot \left(x+y\right)={\left(x-y\right)}^2\cdot \left(x+y\right)$

Zwróćmy uwagę, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze nieujemny, co oznacza, że ${\left(x-y\right)}^2\ge 0$. Oprócz tego, suma liczb nieujemnych jest nieujemna, więc $x+y\ge 0$. Iloczyn liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, więc

${\left(x-y\right)}^2\cdot \left(x+y\right)\ge 0$

To oznacza, że również prawdziwe są nierówności

$x^3-x^{2}y+y^3-x{y}^2\ge 0\iff$

$x^3+y^3\ge x^{2}y+x{y}^2$

co należało udowodnić.