Ciąg arytmetyczny Ciągiem arytmetycznym $\left(a_n\right)$ nazywamy ciąg, w którym różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami jest stała, równa $r$: $a_{n+1}=a_n+r$ $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy: $a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r$ Sumę $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru: $S_n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)\cdot r}{2}\cdot n$

Wiedząc, że wysokość pierwszej raty jest równa $775\text{zł}$, każda kolejna rata jest o $10\text{zł}$ mniejsza od poprzedniej oraz suma wszystkich rat wynosi $30240\text{zł}$, chcemy obliczyć liczbę rat oraz wysokość ostatniej raty. Zwróćmy uwagę, że kolejne raty są wyrazami ciągu arytmetycznego. Wypiszmy dane i szukane:

$a_1=775$

$r=-10$

$S_n=30240$

$n=?$

$a_n=?$

---

Zacznijmy od wyznaczenia liczby $n$, korzystając ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{2a_1+\left(n-1\right)\cdot r}{2}\cdot n$

$30240=\frac{{}^1\cancel{2}\cdot 775+\left(n-1\right)\cdot \left(-{\cancel{10}}^5\right)}{2}\cdot n$

$30240=\left(775-5\left(n-1\right)\right)\cdot n$

$30240=\left(775-5n+5\right)\cdot n$

$30240=\left(780-5n\right)\cdot n$

$30240=780n-5n^2$

$5n^2-780n+30240=0|:5$

$n^2-156n+6048=0$

Rozwiążmy równanie, obliczając wyróżnik kwadratowy:

$\Delta =156^2-4\cdot 1\cdot 6048=24336-24192=144$

$n_1=\frac{-\left(-156\right)+\sqrt{144}}{2\cdot 1}=\frac{156+12}{2}=\frac{168}{2}=84$

$n_2=\frac{-\left(-156\right)-\sqrt{144}}{2\cdot 1}=\frac{156-12}{2}=\frac{144}{2}=72$ 

Otrzymaliśmy dwa możliwe rozwiązania: $n=84$ lub $n=72$.

---

Zwróćmy uwagę, że gdy $n=84$, ostatnia rata będzie ujemna, co nie może zachodzić. Korzystając ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy wówczas, że

$a_{84}=a_1+83r=775+83\cdot \left(-10\right)=775-830=-55<0$ 

To oznacza, że $n=72$.

---

Wiedząc, że $n=72$, obliczymy wysokość ostatniej raty:

$a_{72}=a_1+71r=775+71\cdot \left(-10\right)=775-710=65$

Odpowiedź: Liczba wszystkich rat to $72$, a ostatnia rata wynosi $65\text{zł}$.