W nieskończonym ciągu arytmetycznym...- Zadanie 12.25: Matematyka. Zbiór zadań maturalnych. Lata 2010-2024. Poziom podstawowy

Rozwiązanie

Ciąg arytmetyczny

Załóżmy, że mamy dany ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o różnicy $r$ .

$n$ -ty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$

Sumę $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego obliczymy ze wzoru:

$S_{n} = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) \cdot r}{2} \cdot n$

Ciąg geometryczny

Załóżmy, że $b_{n}$ , $b_{n + 1}$ , $b_{n + 2}$ są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wtedy spełniona jest zależność

$(b_{n + 1})^{2} = b_{n} \cdot b_{n + 2}$

W ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ wiemy, że

$S_{11} = 187$
$\frac{a _{1} + a _{3} + a _{9}}{3} = 12$
wyrazy $b_{1} = a_{1}$ , $b_{2} = a_{3}$ , $b_{3} = a_{k}$ tworzą ciąg geometryczny

Chcemy wyznaczyć wartość liczby $k$ .

Zaczniemy od wyznaczenia wyrazu $a_{1}$ i różnicy ciągu $(a_{n})$ , rozwiązując układ równań. Skorzystamy ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego oraz wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

${S_{11} = 187 \frac{a _{1} + a _{3} + a _{9}}{3} = 12$

${\frac{2 a _{1} + ( 11 - 1 ) \cdot r}{2} \cdot 11 = 187 \frac{a _{1} + ( a _{1} + 2 r ) + ( a _{1} + 8 r )}{3} = 12$

${\frac{2 a _{1} + 10 r}{2} \cdot 11 = 187 \frac{3 a _{1} + 10 r}{3} = 12 ∣ \cdot 3$

${(a_{1} + 5 r) \cdot 11 = 187 ∣ : 11 3 a_{1} + 10 r = 36$

${a_{1} + 5 r = 17 3 a_{1} + 10 r = 36$

Od drugiego równania odejmijmy pierwsze równanie, pomnożone przez $2$ :

$3 a_{1} + 10 r - 2 (a_{1} + 5 r) = 36 - 2 \cdot 17$

$3 a_{1} + 10 r - 2 a_{1} - 10 r = 36 - 24$

$a_{1} = 2$

Podstawmy otrzymany wynik do pierwszego równania układu równań i wyznaczmy różnicę $r$ :

$a_{1} + 5 r = 17 \Leftrightarrow 2 + 5 r = 17 \Leftrightarrow 5 r = 17 - 2 = 15 \Leftrightarrow r = 3$

Następnie wyznaczmy wzór na $n$ -ty wyraz ciągu:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) r = 2 + 3 (n - 1) = 2 + 3 n - 3 = 3 n - 1$

$a_{n} = 3 n - 1$

Obliczmy wskazane wyrazy ciągu geometrycznego $(b_{k})$ :

$b_{1} = a_{1} = 3 \cdot 1 - 1 = 2$

$b_{2} = a_{3} = 3 \cdot 3 - 1 = 8$

$b_{3} = a_{k} = 3 k - 1$

Z zależności pomiędzy trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego otrzymujemy, że

$(b_{2})^{2} = b_{1} b_{3}$

$8^{2} = 2 \cdot (3 k - 1)$

$64 = 6 k - 2$

$6 k = 66$

$k = 11$

Odpowiedź: $k = 11$

Bogna Pawlus

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.