Przekształcamy równoważnie nierówność z tezy:

$$\begin{array}{rl}\frac{a^2+b^2}{2}& >{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2\\ \frac{a^2+b^2}{2}& >\frac{a^2+2ab+b^2}{4}|\cdot 4\\ 2a^2+2b^2& >a^2+2ab+b^2|-(a^2+2ab+b^2)\\ a^2-2ab+b^2& >0\\ (a-b{)}^2& >0\end{array}$$

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ${\left(a-b\right)}^2\ge 0$.

Wiemy, że kwadrat liczby rzeczywistej jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa $0$. Skoro $a\ne b$, to liczba $a-b$ nie może być równa $0$. W takim razie ${\left(a-b\right)}^2>0$.
Powyższe przekształcenia są równoważne, więc prawdziwa jest także początkowa nierówność. To należało wykazać.