${\left(3n+5\right)}^2={\left(3n\right)}^2+2\cdot 3n\cdot 5+5^2=9n^2+30n+25$

${\left(3n+5\right)}^2+11n^2-18=$

$=9n^2+30n+25+11n^2-18=$

$=20n^2+30n+7=$

$=20n^2+30n+5+2=$

$=5\cdot 4n^2+5\cdot 6n+5\cdot 1+2=$

$=5\left(4n^2+6n+1\right)+2$

Liczba $n$ jest całkowita, więc liczba $4n^2+6n+1$ też jest całkowita.

W takim razie liczba $5\left(4n^2+6n+1\right)$ jest podzielna przez $5$, więc liczba podana w treści zadania przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$. To należało udowodnić.