Kąt $\sphericalangle BAD$ oznaczmy jako $\alpha$.
Skoro czworokąt jest wpisany w okrąg, to kąt $\sphericalangle BCD$ ma miarę $180^{\circ }-\alpha$.

Z twierdzenia sinusów w trójkącie $BAD$ wynika:
$2R=\frac{\left|BD\right|}{\sin \alpha }$    $\to$    $R=\frac{\left|BD\right|}{2\sin \alpha }$

Z twierdzenia cosinusów w trójkątach
$BAD$ i $BCD$ dostajemy:
$\{\begin{array}{l}|BD{|}^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos \alpha \\ |BD{|}^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \underset{-\cos \alpha }{\underbrace{\cos (180^{\circ }-\alpha )}}\end{array}$
$\{\begin{array}{l}|BD{|}^2=3^2+8^2-2\cdot 3\cdot 8\cdot \cos \alpha \\ |BD{|}^2=3^2+5^2+2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos \alpha \end{array}$