Wiemy, że w trójkącie równobocznym stosunek odległości wierzchołka C od środka okręgu wpisanego w ten trójkąt (lub opisanego na nim, ponieważ środki się pokrywają) i odległości środka od naprzeciwległego boku AB jest równy 2 : 1. Zatem

$\left|CS\right|=\frac{2}{3}h$  

$\left|CS\right|=\sqrt{{\left(-7-1\right)}^2+{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-8\right)}^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$  

$h=\frac{3}{2}\cdot 4\sqrt{5}=6\sqrt{5}$  

Wyznaczmy prostą zawierającą CS

$CS:y=ax+b$

$\{\begin{array}{l}3=-7a+b\\ -1=a+b\mid -a\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}3=-7a+b\\ b=-1-a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3=-7a-1-a\\ b=-1-a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3=-8a-1\mid +1\\ b=-1-a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-8a=4\mid :\left(-8\right)\\ b=-1-a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-1-a\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-1+\frac{1}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\end{array}$

$CS:y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

Prosta zawierająca bok AB jest do niej prostopadła i jest w odległości h od punktu C. Będą dwie takie proste. Stąd

$AB:y=2x+b$  

$0=2x-y+b$  

$\frac{\left|2\cdot \left(-7\right)-3+b\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}=6\sqrt{5}$  

$\frac{\left|-14-3+b\right|}{\sqrt{4+1}}=6\sqrt{5}$  

$\frac{\left|-17+b\right|}{\sqrt{5}}=6\sqrt{5}\mid \cdot \sqrt{5}$  

$\left|-17+b\right|=6\cdot 5$  

$\left|-17+b\right|=30$  

$-17+b=30\left|+17\vee -17+b=-30\right|+17$  

$b=47\vee b=-13$  

Chcemy aby była to prosta bliżej punktu S, ponieważ ma on być środkiem okręgu wpisanego w trójkąt. To znaczy, prosta nie może być po drugiej stronie punktu 
C. Stąd wybieramy

$b=-13$

Mamy

$AB:y=2x-13$   

---

Wykorzystamy teraz wysokość do policzenia długości boku trójkąta. Mamy

$h=6\sqrt{5}$

Wiemy, że

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$   

Więc

$6\sqrt{5}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\mid \cdot 2$  

$12\sqrt{5}=a\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$  

$a=\frac{12\sqrt{15}}{3}$  

$a=4\sqrt{15}$  

Teraz zauważmy, że jeśli skonstruujemy okrąg o środku w punkcie C i promieniu r = a, to przecięcie się tego okręgu z prostą zawierającą bok AB da nam wierzchołki których szukamy.

${\left(x+7\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2={\left(4\sqrt{15}\right)}^2$   

${\left(x+7\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=240$  

 Rozwiązujemy układ równań

$\{\begin{array}{l}y=2x-13\\ {\left(x+7\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=240\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-13\\ {\left(x+7\right)}^2+{\left(2x-13-3\right)}^2=240\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-13\\ {\left(x+7\right)}^2+{\left(2x-16\right)}^2=240\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-13\\ x^2+14x+49+4x^2-64x+256=240\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-13\\ 5x^2-50x+305=240\mid -240\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-13\\ 5x^2-50x+65=0\mid :5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-13\\ x^2-10x+13=0\end{array}$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe

${\Delta }_x={\left(-10\right)}^2-4\cdot 1\cdot 13=100-52=48,\sqrt{{\Delta }_x}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$  

$x=\frac{10-4\sqrt{3}}{2}=5-2\sqrt{3}\vee x=\frac{10+4\sqrt{3}}{2}=5+2\sqrt{3}$  

$y=2\cdot \left(5-2\sqrt{3}\right)-13=10-4\sqrt{3}-13=-3-4\sqrt{3}\vee y=2\cdot \left(5+2\sqrt{3}\right)-13=10+4\sqrt{3}-13=-3+4\sqrt{3}$  

Mamy zatem dwa pozostałe wierzchołki

$\mathbf{A}=\left(5-2\sqrt{3},-3-4\sqrt{3}\right),\mathbf{B}=\left(5+2\sqrt{3},-3+4\sqrt{3}\right)$