W trójkącie $ABC$ bok $a$ leży naprzeciwko kąta $\alpha$, bok $b$ leży naprzeciwko kąta $\beta$, a bok $c$ leży naprzeciwko kąta $\gamma$.

---

 a)

Wiemy, że:

$a=7\text{cm}$

$\alpha =37^{\circ }$

$\beta =100^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów możemy zapisać:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

$b\sin \alpha =a\sin \beta |:\sin \alpha$

$b=\frac{a\sin \beta }{\sin \alpha }$

$b=\frac{7\sin 100^{\circ }}{\sin 37^{\circ }}$

W tym miejscu skorzystamy z wzoru redukcyjnego $\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$:

$b=\frac{7\sin \left(180^{\circ }-80^{\circ }\right)}{\sin 37^{\circ }}$

$b=\frac{7\sin 80^{\circ }}{\sin 37^{\circ }}$

$b\approx \frac{7\cdot 0,9848}{0,6018}$

$b\approx 11,45\left[\text{cm}\right]$

Z tego, że suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }$, mamy:

$\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta =180^{\circ }-100^{\circ }-37^{\circ }=43^{\circ }$

I znów skorzystamy z twierdzenia sinusów. Mamy:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }|\cdot \sin \gamma$

$c=\frac{a\sin \gamma }{\sin \alpha }$

$c\approx \frac{7\cdot 0,682}{0,6018}$  

$c\approx 7,93\left[\text{cm}\right]$  

---

b)

Wiemy, że:

$b=12,7\text{cm}$

$\alpha =78^{\circ }$

$\beta =45^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów możemy zapisać:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }|\cdot \sin \alpha$

$a=\frac{b\sin \alpha }{\sin \beta }$

$a=\frac{12,7\cdot \sin 78^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$

$a\approx \frac{12,7\cdot 0,9781}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$a\approx 12,42\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

$a\approx 12,42\cdot \frac{2}{1,4142}$

$a\approx 17,57\left[\text{cm}\right]$

Z tego, że suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }$, mamy:

$\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta =180^{\circ }-78^{\circ }-45^{\circ }=57^{\circ }$

I znów skorzystamy z twierdzenia sinusów. Mamy:

$\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{b}{\sin \beta }|\cdot \sin \gamma$

$c=\frac{b\sin \gamma }{\sin \beta }$

$c=\frac{12,7\cdot \sin 57^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}$

$c\approx \frac{12,7\cdot 0,8387}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$c\approx 10,6514\cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

$c\approx 10,6514\cdot \frac{2}{1,4142}$

$c\approx 15,06\left[\text{cm}\right]$

---

c)

Wiemy, że:

$c=11,3\text{cm}$

$\gamma =27^{\circ }$

$\beta =120^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów możemy zapisać:

$\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{b}{\sin \beta }|\cdot \sin \beta$

$b=\frac{c\sin \beta }{\sin \gamma }$

$b=\frac{11,3\cdot \sin 120^{\circ }}{\sin 27^{\circ }}$

W tym miejscu skorzystamy z wzoru redukcyjnego $\sin \left(180^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha$:

$b=\frac{11,3\cdot \sin \left(180^{\circ }-60^{\circ }\right)}{\sin 27^{\circ }}$

$b=\frac{11,3\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 27^{\circ }}$

$b\approx \frac{11,3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0,454}$

$b\approx \frac{11,3\cdot \frac{1,732}{2}}{0,454}$

$b\approx 21,56\left[\text{cm}\right]$

Z tego, że suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }$, mamy:

$\alpha =180^{\circ }-\gamma -\beta =180^{\circ }-120^{\circ }-27^{\circ }=33^{\circ }$

I znów skorzystamy z twierdzenia sinusów. Mamy:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }|\cdot \sin \alpha$

$a-\frac{c\sin \alpha }{\sin \gamma }$

$a=\frac{11,3\cdot \sin 33^{\circ }}{\sin 27^{\circ }}$

$a\approx \frac{11,3\cdot 0,5446}{0,454}$

$a\approx 13,56\left[\text{cm}\right]$