W trójkącie $ABC$ bok $a$ leży naprzeciwko kąta $\alpha$, bok $b$ leży naprzeciwko kąta $\beta$, a bok $c$ leży naprzeciwko kąta $\gamma$.

---

 a)

Wiemy, że:

$a=20$

$b=24$

$\alpha =45^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów możemy zapisać:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

$\frac{20}{\sin 45^{\circ }}=\frac{24}{\sin \beta }$

$20\sin \beta =24\sin 45^{\circ }$

$20\sin \beta =24\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$20\sin \beta =12\sqrt{2}|:20$

$\sin \beta =\frac{3\sqrt{2}}{5}$

---

b)

Wiemy, że:

$c=36$

$\alpha =75^{\circ }$

$\beta =45^{\circ }$

Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }$, zatem:

$\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta =180^{\circ }-75^{\circ }-45^{\circ }=60^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów możemy zapisać:

$\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{b}{\sin \beta }$

$\frac{36}{\sin 60^{\circ }}=\frac{b}{\sin 45^{\circ }}|\cdot \sin 45^{\circ }$

$\frac{36\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=b$

$b=\frac{36\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$b=18\sqrt{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$

$b=\frac{36\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$b=\frac{36\sqrt{6}}{3}$

$b=12\sqrt{6}$

---

c)

Wiemy, że:

$a=11$

$c=17$

$\gamma =71^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów możemy zapisać:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$

$\frac{11}{\sin \alpha }=\frac{17}{\sin 71^{\circ }}$

$11\sin 71^{\circ }=17\sin \alpha |:17$

$\sin \alpha =\frac{11\sin 71^{\circ }}{17}$

$\sin \alpha \approx \frac{11\cdot 0,9455}{17}$

$\sin \alpha \approx 0,612$

---

d)

Wiemy, że:

$a=16$

$\beta =26^{\circ }$

$\gamma =48^{\circ }$

Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }$, zatem:

$\alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma =180^{\circ }-24^{\circ }-48^{\circ }=106^{\circ }$

Zanim przejdziemy dalej, skorzystajmy ze wzoru redukcyjnego i zapiszmy, że:

$\sin 106^{\circ }=\sin \left(180^{\circ }-74^{\circ }\right)=\sin 74^{\circ }$

Korzystając z twierdzenia sinusów możemy zapisać:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$

$\frac{16}{\sin 106^{\circ }}=\frac{c}{\sin 48^{\circ }}|\cdot \sin 106^{\circ }$

$c=\frac{16\sin 106^{\circ }}{\sin 48^{\circ }}$

$c=\frac{16\sin 74^{\circ }}{\sin 48^{\circ }}$

$c\approx \frac{16\cdot 0,7431}{0,9613}$

$c\approx 12,37$