Naszkicujmy rysunek poglądowy:

Z twierdzenia o dwusiecznej mamy:

$\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BD\right|}{\left|CD\right|}$

$\left|AB\right|\cdot \left|CD\right|=\left|BD\right|\cdot \left|AC\right|$  

$\left|AB\right|\cdot \left(\left|BC\right|-\left|BD\right|\right)=\left|BD\right|\cdot \left|AC\right|$

$\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|-\left|AB\right|\cdot \left|BD\right|=\left|BD\right|\cdot \left|AC\right||+\left|AB\right|\cdot \left|BD\right|$

$\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|=\left|AB\right|\cdot \left|BD\right|+\left|BD\right|\cdot \left|AC\right|$

$\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|=\left|BD\right|\cdot \left(\left|AB\right|+\left|AC\right|\right)$

Korzystając z nierówności trójkąta, mamy:

$\left|BC\right|<\left|AB\right|+\left|AC\right|$

Zatem:

$\left|AB\right|\cdot \left|BC\right|>\left|BD\right|\cdot \left|BC\right||:\left|BC\right|,\left|BC\right|>0$

$\left|AB\right|>\left|BD\right|$

$\left|BD\right|<\left|AB\right|$

Co było do udowodnienia.