Oznaczmy miary kątów w opisanym trójkącie przez $90^{\circ }$, $\alpha$ oraz $2\alpha$.

Skorzystajmy z tego, że suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ }$. Mamy:

$90^{\circ }+\alpha +2\alpha =180^{\circ }|-90^{\circ }$

$3\alpha =90^{\circ }|:3$

$\alpha =30^{\circ }$

Wtedy:

$2\alpha -60^{\circ }$

Zatem rozważany trójkąt jest połową trójkąta równobocznego. Możemy oznaczyć boki jako $a$, $a\sqrt{3}$ i $2a$. Następnie obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt. Mamy:

$2\pi r=2\pi$

$r=1\left[\text{cm}\right]$

Pole trójkąta o bokach $a$, $b$, $c$ możesz obliczyć ze wzorów:

$P=pr$

gdzie:

$p$ - połowa obwodu trójkąta

$r$ - promień okręgu wpisanego w trójkąt

Jednocześnie pola trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu długości jego przyprostokątnych. Zatem:

$\frac{a\cdot a\sqrt{3}}{2}=\frac{a+2a+a\sqrt{3}}{2}\cdot 1$

$\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}=\frac{\left(3+\sqrt{3}\right)a}{2}|\cdot 2$

$\sqrt{3}{a}^2=\left(3+\sqrt{3}\right)a|:a$

$\sqrt{3}a=3+\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$a=\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

$a=\frac{3\sqrt{3}+3}{3}$

$a=1+\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

Zauważmy, że jest to trójkąt prostokątny, zatem promień okręgu opisanego na tym trójkącie to połowa przeciwprostokątnej. Wobec tego:

$R=\frac{1}{2}\cdot 2a=a$

Obliczmy pole koła opisanego na tym trójkącie:

$P_O=\pi {\left(1+\sqrt{3}\right)}^2=\pi \cdot \left(1+2\sqrt{3}+3\right)=\left(4+2\sqrt{3}\right)\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$

Zatem otrzymaliśmy, że pole koła opisanego na tym trójkącie wynosi $\left(4+2\sqrt{3}\right)\pi {\text{cm}}^2$.