Zauważmy, że skoro M jest  środkiem symetrii to jest punktem przecięcia się przekątnych rombu i dzieli je na połowy. Zatem aby wyznaczyć naprzeciwległy wierzchołek do P należy skorzystać ze wzoru na środek odcinka

$M=\left(1,1\right)=\left(\frac{-2+x_{P{}^{\prime }}}{2},\frac{-3+y_{P{}^{\prime }}}{2}\right)$  

$\{\begin{array}{l}\frac{-2+x_{P{}^{\prime }}}{2}=1\mid \cdot 2\\ \frac{-3+y_{P{}^{\prime }}}{2}=1\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2+x_{P{}^{\prime }}=2\mid +2\\ -3+y_{P{}^{\prime }}=2\mid +3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_{P{}^{\prime }}=4\\ y_{P{}^{\prime }}=5\end{array}$  

$P{}^{\prime }=\left(4,5\right)$  

Wyznaczmy prostą zawierającą przekątną PP'

$\{\begin{array}{l}-3=-2a+b\\ 5=4a+b\mid -4a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3=-2a+b\\ b=5-4a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3=-2a+5-4a\\ b=5-4a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-3=-6a+5\mid -5\\ b=5-4a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-6a=-8\mid :\left(-6\right)\\ b=5-4a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ b=5-4a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ b=5-4\cdot \frac{4}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ b=5-\frac{16}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ b=-\frac{1}{3}\end{array}$  

$y=\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}$  

Aby wyznaczyć pozostałe wierzchołki poszukamy prostej prostopadłej zawierającej drugą przekątną.

$y=-\frac{3}{4}x+b{}^{\prime }$  

Przechodzi ona przez punkt M

$1=-\frac{3}{4}\cdot 1+b{}^{\prime }$  

$1=-\frac{3}{4}+b{}^{\prime }\mid +\frac{3}{4}$  

$b{}^{\prime }=\frac{7}{4}$  

Stąd

$y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$  

Przecięcie tej prostej z prostą podaną w zadaniu wyznacza kolejny wierzchołek rombu.

Mamy

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}\\ x-2y-4=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}\\ x-2\left(-\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}\right)-4=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}\\ x+\frac{3}{2}x-\frac{7}{2}-4=0\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}\\ \frac{5}{2}x-\frac{15}{2}=0\mid +\frac{15}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}\\ \frac{5}{2}x=\frac{15}{2}\mid \cdot \frac{2}{5}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}\\ x=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{4}\cdot 3+\frac{7}{4}\\ x=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{9}{4}+\frac{7}{4}\\ x=3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}\\ x=3\end{array}$  

$R=\left(3,-\frac{1}{2}\right)$  

Ostatni wierzchołek znajdziemy korzystając z tego, że M jest również środkiem drugiej przekątnej RR'

$M=\left(1,1\right)=\left(\frac{3+x_{R{}^{\prime }}}{2},\frac{-\frac{1}{2}+y_{R{}^{\prime }}}{2}\right)$  

$\{\begin{array}{l}\frac{3+x_{R{}^{\prime }}}{2}=1\mid \cdot 2\\ \frac{-\frac{1}{2}+y_{R{}^{\prime }}}{2}=1\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3+x_{R{}^{\prime }}=2\mid -3\\ -\frac{1}{2}+y_{R{}^{\prime }}=2\mid +\frac{1}{2}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_{R{}^{\prime }}=-1\\ y_{R{}^{\prime }}=2\frac{1}{2}\end{array}$  

$R{}^{\prime }=\left(-1,2\frac{1}{2}\right)$  

---

Pole rombu policzymy ze wzoru zawierającego przekątne.

$\left|PP{}^{\prime }\right|=\sqrt{{\left(-2-4\right)}^2+{\left(-3-5\right)}^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$  

$\left|RR{}^{\prime }\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-\frac{1}{2}-2\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$  

$P=\frac{\left|PP{}^{\prime }\right|\cdot \left|RR{}^{\prime }\right|}{2}=\frac{10\cdot 5}{2}=\frac{50}{2}=25$