W deltoidzie przekątnie przecinają się pod kątem prostym. Możemy zatem wyznaczyć prostą zawierającą przekątną AC.

$\{\begin{array}{l}-1=-9a+b\\ 7=3a+b\mid -3a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1=-9a+b\\ b=7-3a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1=-9a+7-3a\\ b=7-3a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-1=-12a+7\mid -7\\ b=7-3a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-12a=-8\mid :\left(-12\right)\\ b=7-3a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{3}\\ b=7-3a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{3}\\ b=7-3\cdot \frac{2}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{3}\\ b=7-2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{3}\\ b=5\end{array}$  

$y=\frac{2}{3}x+5$  

Prosta zawierająca drugą przekątna będzie prostopadła i będzie przechodziła przez punkt B. Zatem

$y=-\frac{3}{2}x+b{}^{\prime }$  

$11=-\frac{3}{2}\cdot \left(-4\right)+b{}^{\prime }$  

$11=6+b{}^{\prime }\mid -6$  

$b{}^{\prime }=5$  

$y=-\frac{3}{2}x+5$  

Punkt D leży na wyznaczonej prostej. Zaznaczmy wszystko w układzie współrzędnych.

Z rysunku wnioskujemy, że prosta zawierająca AC jest osią symetrii deltoidu. Stąd punkt przecięcia się prostych będzie środkiem odcinka BD.

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{2}x+5\\ y=\frac{2}{3}x+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}x+5=-\frac{3}{2}x+5\mid +\frac{3}{2}x-5\\ y=\frac{2}{3}x+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{13}{6}x=0\mid :\frac{13}{6}\\ y=\frac{2}{3}x+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=\frac{2}{3}x+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=\frac{2}{3}\cdot 0+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y=5\end{array}$  

Zatem

$\left(0,5\right)=\left(\frac{-4+x_D}{2},\frac{11+y_D}{2}\right)$  

$\{\begin{array}{l}\frac{-4+x_D}{2}=0\mid \cdot 2\\ \frac{11+y_D}{2}=5\mid \cdot 2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4+x_D=0\mid +4\\ 11+y_D=10\mid -11\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{x}_D=4\\ y_D=-1\end{array}$  

$D=\left(4,-1\right)$  

---

Aby policzyć pole wyznaczmy długości przekątnych.

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-9-3\right)}^2+{\left(-1-7\right)}^2}=\sqrt{{\left(-12\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}=\sqrt{144+64}=\sqrt{208}$  

$\left|BD\right|=\sqrt{{\left(-4-4\right)}^2+{\left(11-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-8\right)}^2+{\left(12\right)}^2}=\sqrt{64+144}=\sqrt{208}$  

Pole

$P=\frac{\left|AC\right|\cdot \left|BD\right|}{2}=\frac{{\sqrt{208}}^2}{2}=\frac{208}{2}=104$