a)

Dana jest liczba $7001\ast$.

Sprawdźmy, jaką cyfrę możemy wstawić za $\ast$, aby ta liczba była podzielna przez $7$. 

Jeżeli:

• za $\ast$ wstawimy liczbę $0$, otrzymamy liczbę $70010$. Wtedy:

$\frac{70010}{7}=\frac{70000}{7}+\frac{10}{7}=10000+1\frac{3}{7}=10001\frac{3}{7}$

Zatem liczba $0$ nie spełnia warunków zadania.

• za $\ast$ wstawimy liczbę $1$, otrzymamy liczbę $70011$. Wtedy:

$\frac{70011}{7}=\frac{70000}{7}+\frac{11}{7}=10000+1\frac{4}{7}=10001\frac{4}{7}$

Zatem liczba $1$ nie spełnia warunków zadania.

• za $\ast$ wstawimy liczbę $2$, otrzymamy liczbę $70012$. Wtedy:

$\frac{70012}{7}=\frac{70000}{7}+\frac{12}{7}=10000+1\frac{5}{7}=10001\frac{5}{7}$

Zatem liczba $2$ nie spełnia warunków zadania.

• za $\ast$ wstawimy liczbę $3$, otrzymamy liczbę $70013$. Wtedy:

$\frac{70013}{7}=\frac{70000}{7}+\frac{13}{7}=10000+1\frac{6}{7}=10001\frac{6}{7}$

Zatem liczba $3$ nie spełnia warunków zadania.

• za $\ast$ wstawimy liczbę $4$, otrzymamy liczbę $70014$. Wtedy:

$\frac{70014}{7}=\frac{70000}{7}+\frac{14}{7}=10000+2=10002$

Zatem liczba $4$ spełnia warunki zadania.

• za $\ast$ wstawimy liczbę $5$, otrzymamy liczbę $70015$. Wtedy:

$\frac{70015}{7}=\frac{70000}{7}+\frac{15}{7}=10000+2\frac{1}{7}=10002\frac{1}{7}$

Zatem liczba $5$ nie spełnia warunków zadania.

• za $\ast$ wstawimy liczbę $6$, otrzymamy liczbę $70016$. Wtedy:

$\frac{70016}{7}=\frac{70000}{7}+\frac{16}{7}=10000+2\frac{2}{7}=10002\frac{2}{7}$

Zatem liczba $6$ nie spełnia warunków zadania.

• za $\ast$ wstawimy liczbę $7$, otrzymamy liczbę $70017$. Wtedy:

$\frac{70017}{7}=\frac{70000}{7}+\frac{17}{7}=10000+2\frac{3}{7}=10002\frac{3}{7}$

Zatem liczba $7$ nie spełnia warunków zadania.

• za $\ast$ wstawimy liczbę $8$, otrzymamy liczbę $70018$. Wtedy:

$\frac{70018}{7}=\frac{70000}{7}+\frac{18}{7}=10000+2\frac{4}{7}=10002\frac{4}{7}$

Zatem liczba $8$ nie spełnia warunków zadania.

• za $\ast$ wstawimy liczbę $9$, otrzymamy liczbę $70019$. Wtedy:

$\frac{70019}{7}=\frac{70000}{7}+\frac{19}{7}=10000+2\frac{5}{7}=10002\frac{5}{7}$

Zatem liczba $9$ nie spełnia warunków zadania.

Zatem otrzymaliśmy, że aby liczba $7001\ast$ była podzielna przez $7$ za $\ast$ trzeba wpisać $4$.

---

b)

Rozważmy sytuację, w której dane są pewne pierwsze cztery cyfry liczby i zastanówmy się, czy zawsze znajdziemy taką ostatnią cyfrę tej liczby, aby była ona podzielna przez $7$.

Przez $7$ podzielna jest co siódma liczba. W miejsce $\ast$  możemy wpisać jedną spośród $10$ cyfr, czyli jedną z liczb ze zbioru $\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$.

Oznacza to, że przynajmniej jedna liczba (bez względu na to, jakie byłyby wcześniejsze cyfry) będzie liczbą podzielną przez $7$.