Dana jest liczba $172\ast$.

Sprawdźmy, jaką cyfrę możemy wstawić za $\ast$, aby ta liczba była podzielna przez $6$. Liczba podzielna przez $6$ to liczba podzielna przez $2$ i podzielna przez $3$.

Liczba jest podzielna przez $2$, gdy jej ostatnia cyfra to $0$, $2$, $4$, $6$ lub $8$.

Sprawdźmy, dla której z tych liczb otrzymamy liczbę podzielną przez $3$.  W tym celu sprawdźmy, dla której z liczb suma cyfr powstałej liczby jest podzielna przez $3$. 

Jeżeli:

• $\ast$ to $0$, to otrzymana liczba to $1720$. Obliczmy sumę jej cyfr:

$1+7+2+0=10$

Liczba $10$ nie jest podzielna przez $3$, zatem liczba $1720$ nie jest podzielna przez $3$. A więc liczba $0$ nie spełnia warunków zadania.

• $\ast$ to $2$, to otrzymana liczba to $1722$. Obliczmy sumę jej cyfr:

$1+7+2+2=12$

Liczba $12$ jest podzielna przez $3$, zatem liczba $1722$ jest podzielna przez $3$. A więc liczba $2$ spełnia warunki zadania.

• $\ast$ to $4$, to otrzymana liczba to $1724$. Obliczmy sumę jej cyfr:

$1+7+2+4=14$

Liczba $14$ nie jest podzielna przez $3$, zatem liczba $1724$ nie jest podzielna przez $3$. A więc liczba $4$ nie spełnia warunków zadania.

• $\ast$ to $6$, to otrzymana liczba to $1726$. Obliczmy sumę jej cyfr:

$1+7+2+6=16$

Liczba $16$ nie jest podzielna przez $3$, zatem liczba $1726$ nie jest podzielna przez $3$. A więc liczba $6$ nie spełnia warunków zadania.

• $\ast$ to $8$, to otrzymana liczba to $1728$. Obliczmy sumę jej cyfr:

$1+7+2+8=18$

Liczba $18$ jest podzielna przez $3$, zatem liczba $1728$ jest podzielna przez $3$. A więc liczba $8$ spełnia warunki zadania.

Zatem otrzymaliśmy, że aby liczba $172\ast$ była podzielna przez $6$ za $\ast$ trzeba wpisać $2$ lub $8$.