Treść:

Ciąg $\left(a_n\right)$ jest określony wzorem $a_n={\left(-1\right)}^n\cdot \left(n-5\right)$ dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

---

Rozwiązanie:

Wyznaczmy pierwszy i trzeci wyraz ciągu:

$a_1={\left(-1\right)}^1\cdot \left(1-5\right)=-1\cdot \left(-4\right)=4$

$a_3={\left(-1\right)}^3\cdot \left(3-5\right)=-1\cdot \left(-2\right)=2$

Zauważmy, że:

$a_1=2\cdot a_3$

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Aby ocenić prawdziwość drugiego zdania, obliczmy np. siódmy wyraz tego ciągu:

$a_7={\left(-1\right)}^7\cdot \left(7-5\right)=-1\cdot 2=-2$

Siódmy wyraz tego ciągu jest liczbą ujemną.

Drugie zdanie jest fałszywe.

---

Odp. PF.