Dane jest równanie:

$\sqrt{3}\cdot \cos x=1+\sin x$

Rozwiążmy to równanie w przedziale $\left[0;2\pi \right]$. Podnosząc obustronnie równanie do kwadratu, otrzymujemy:

$3{\cos }^{2}x={\left(1+\sin x\right)}^2$

$3{\cos }^{2}x=1+2\sin x+{\sin }^{2}x$

$3\left(1-{\sin }^{2}x\right)=1+2\sin x+{\sin }^{2}x$

$3-3{\sin }^{2}x=1+2\sin x+{\sin }^{2}x|-1-2\sin x-{\sin }^{2}x$

$-4{\sin }^{2}x-2\sin x+2=0|:\left(-2\right)$

$2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$

---

Niech:

$\sin x=t$, gdzie $t\in \left[-1;1\right]$

Wtedy rozwiązanie wyjściowego równania jest takie samo jak rozwiązanie równania:

$2t^2+t-1=0$ dla $t\in \left[-1;1\right]$

$\Delta =1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$

$\sqrt{\Delta }=3$

$t_1=\frac{-1-3}{2\cdot 2}=-\frac{4}{4}=-1\in \left[-1;1\right]$

$t_2=\frac{-1+3}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\in \left[-1;1\right]$

Zatem:

$\sin x=-1\vee \sin x=\frac{1}{2}$

• Rozwiążmy równanie:

$\sin x=-1$

Zauważmy, że:

$\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$

Funkcja $y=\sin x$ jest okresowa o okresie $2\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathbb{Z}$

• Rozwiążmy równanie:

$\sin x=\frac{1}{2}$

Zauważmy, że:

$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

$\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$

Funkcja $y=\sin x$ jest okresowa o okresie $2\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

 Zatem mamy, że:

$x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Rozwiązań szukamy w przedziale w  $\left[0;2\pi \right]$. Zatem:

$x=-\frac{\pi }{2}+2\pi \vee x=\frac{\pi }{6}\vee x=\frac{5\pi }{6}$ 

$x=\frac{3\pi }{2}\vee x=\frac{\pi }{6}\vee x=\frac{5\pi }{6}$

---

Skoro powyższe rozwiązania otrzymaliśmy podnosząc równanie do kwadratu, to musimy dokonać sprawdzenia.

• Dla $x=\frac{3\pi }{2}$ mamy:

$\sqrt{3}\cdot \cos x=1+\sin x$

$\sqrt{3}\cdot \cos \frac{3\pi }{2}=1+\sin \frac{3\pi }{2}$

$\sqrt{3}\cdot 0=1-1$

$0=0$

Zatem $x=\frac{3\pi }{2}$ jest rozwiązaniem wyjściowego równania.

• Dla $x=\frac{\pi }{6}$ mamy:

$\sqrt{3}\cdot \cos \frac{\pi }{6}=1+\sin \frac{\pi }{6}$

$\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1+\frac{1}{2}$

$\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Zatem $x=\frac{\pi }{6}$ jest rozwiązaniem wyjściowego równania.

• Dla $x=\frac{5\pi }{6}$ mamy:

$\sqrt{3}\cdot \cos \frac{5\pi }{6}=1+\sin \frac{5\pi }{6}$

$\sqrt{3}\cos \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=1+\sin \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)$

$-\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{6}=1+\sin \frac{\pi }{6}$

$-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=1+\frac{1}{2}$

$-\frac{3}{2}\ne \frac{3}{2}$

Zatem $x=\frac{5\pi }{6}$ nie jest rozwiązaniem wyjściowego równania.

Zatem ostatecznie mamy, że rozwiązaniem wyjściowego równania  jest:

$\underline{\underline{x=\frac{3\pi }{2}\vee x=\frac{\pi }{6}}}$