Dane jest równanie z niewiadomą $x$:

$\cos \alpha \cdot x^2+2\sin \alpha \cdot x=\cos \alpha |-\cos \alpha$

$\cos \alpha \cdot x^2+2\sin \alpha \cdot x-\cos \alpha =0$

---

---

a)

Załóżmy, że $\alpha$ jest kątem ostrym. Zbadajmy, kiedy podane równanie ma dwa rozwiązania. Będzie tak, gdy:

$\cos \alpha \ne 0\wedge \Delta >0$

Zauważmy, że jeśli $\alpha$ jest kątem ostrym, to $\cos \alpha \ne 0$.

Obliczmy wyróżnik równania:

$\Delta =\left(2{\sin }^2\alpha \right)-4\cdot \cos \alpha \cdot \left(-\cos \alpha \right)=4{\sin }^2\alpha +4{\cos }^2\alpha =4\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)=$

$=4\cdot 1=4>0$

Wobec tego $\cos \alpha \ne 0$ oraz $\Delta >0$, czyli podane równania dla dowolnego kąta ostrego $\alpha$ ma dwa rozwiązania, co należało wykazać.

---

---

b)

Znajdźmy takie wartości $\alpha$, że równanie posiada dwa rozwiązania $x_1$ i $x_2$ takie, że:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>2$

Aby równanie miało dwa rozwiązania, musi zachodzić:

$\cos x\ne 0\wedge \Delta >0$

Aby $\cos x\ne 0$, to:

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Z podpunktu a) wiemy, że:

$\Delta =4>0$

Zatem równanie ma dwa rozwiązania, gdy:

$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

---

Sprawdźmy kiedy:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}>2$

$\frac{x_2+x_1}{x_1{x}_2}>0$

Korzystając ze wzorów Viète'a, mamy:

$\frac{\frac{-2\sin \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{-\cos \alpha }{\cos \alpha }}>2$

$\frac{-2\sin \alpha }{-\cos \alpha }>2$

$\frac{2\sin \alpha }{\cos \alpha }>2$

$2\mathrm{tg}\alpha >2|:2$

$\mathrm{tg}x>1$

W celu rozwiązania nierówności, rozwiążmy równanie:

$\mathrm{tg}x=1$

Zauważmy, że:

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$

Funkcja $y=\mathrm{tg}x$ jest okresowa o okresie $\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Szukamy rozwiązań ujemnych, zatem są one w postaci:

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

Naszkicujmy wykres funkcji $y=\mathrm{tg}x$ oraz prostą $y=1$.

Z rysunku odczytujemy, że rozwiązaniem nierówności są przedziały:

$x\in \left(\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ dla $k\in \mathbb{Z}$