a)

$W\left(x\right)=\left(x+2\right){\left(x-4\right)}^2{\left(x-5\right)}^3$

Aby wyznaczyć pierwiastki wielomianu rozwiązujemy równanie:

$W\left(x\right)=0$

$\left(x+2\right){\left(x-4\right)}^2{\left(x-5\right)}^3=0$

$x+2=0\vee x-4=0\vee x-5=0$

$x=-2\vee x=4\vee x=5$

Dostajemy zatem, że

• liczba $-2$ jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$,
• liczba $4$ jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$,
• liczba $5$ jest trzykrotnym  pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$.

---

b)

$W\left(x\right)=x^4+6x^3+9x^2$

Aby wyznaczyć pierwiastki wielomianu rozwiązujemy równanie:

$W\left(x\right)=0$

$x^4+6x^3+9x^2=0$

$x^2\left(x^2+6x+9\right)=0$

$x^2\left(x^2+2\cdot 3\cdot x+3^2\right)=0$

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy $a^2+2ab+b^2={\left(a+b\right)}^2$, otrzymujemy

$x^2{\left(x+3\right)}^2=0$

$x^2=0\vee {\left(x+3\right)}^2=0$

$x=0\vee x+3=0$

$x=0\vee x=-3$

Dostajemy zatem, że

• liczba $0$ jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$,
• liczba $-3$ jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$.

---

c)

$W\left(x\right)={\left(x+1\right)}^5+{\left(x+1\right)}^4$

Aby wyznaczyć pierwiastki wielomianu rozwiązujemy równanie:

$W\left(x\right)=0$

${\left(x+1\right)}^5+{\left(x+1\right)}^4=0$

Zastosujemy metodę grupowania wyrazów.

${\left(x+1\right)}^4(x+1)+{\left(x+1\right)}^4\cdot 1=0$

$(x+1{)}^4\left((x+1)+1)\right)=0$

$(x+1{)}^4\left(x+1+1\right)=0$

$(x+1{)}^4\left(x+2\right)=0$

${\left(x+1\right)}^4=0\vee x+2=0$

$x+1=0\vee x+2=0$

$x=-1\vee x=-2$

Dostajemy zatem, że

• liczba $-1$ jest czterokrotnym pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$,
• liczba $-2$ jest jednokrotnym pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$.