a)

$\frac{2}{x-6}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

$x-6\ne 0$

$x\ne 6$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus \{6\}$

---

b)

$\frac{x-6}{x}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

$x\ne 0$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$

---

c)

$\frac{2x}{x+5}+\frac{1}{x-2}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Żaden z mianowników nie może być równy zero, zatem

$x+5\ne 0\wedge x-2\ne 0$

$x\ne -5\wedge x\ne 2$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus \left\{-5,2\right\}$

---

d)

$\frac{1}{x^2}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

$x^2\ne 0$

$x\ne 0$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$

---

e)

$\frac{x+1}{(x-1)(x+7)}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

$\left(x-1\right)\left(x+7\right)\ne 0$

Zatem

$x-1\ne 0\wedge x+7\ne 0$

$x\ne 1\wedge x\ne -7$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus \left\{-7,1\right\}$

---

f)

$\frac{x^2-9}{x^2-25}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

$x^2-25\ne 0$

Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$, otrzymujemy

$\left(x-5\right)\left(x+5\right)\ne 0$

Zatem

$x-5\ne 0\wedge x+5\ne 0$

$x\ne 5\wedge x\ne -5$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus \left\{-5,5\right\}$

---

g)

$\frac{x-5}{(x+5{)}^2}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

${\left(x+5\right)}^2\ne 0$

$x+5\ne 0$

$x\ne -5$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus \left\{-5\right\}$

---

h)

$\frac{x}{x^2+25}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

$x^2+25\ne 0$

$x^2\ne -25$

Zauważmy, że kwadrat liczby rzeczywistej nie może być liczbą ujemną. Z tego wynika, że dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}$

---

i)

$\frac{x-4}{x^2-4x}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

$x^2-4x\ne 0$

$x^{}\left(x-4\right)\ne 0$

Zatem

$x\ne 0\wedge x-4\ne 0$

$x\ne 0\wedge x\ne 4$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus \left\{0,4\right\}$

---

j)

$\frac{1}{x^2-4x+3}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

$x^2-4x+3\ne 0$

Rozłóżmy na czynniki trójmian $x^2-4x+3$.

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$

$\sqrt{\Delta }=2$

$x_1=\frac{4-2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1$

$x_2=\frac{4+2}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus \left\{1,3\right\}$

---

k)

$\frac{1}{x^2-3x+4}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

$x^2-3x+4\ne 0$

Zauważmy, że trójmian $x^2-3x+4$ nie ma miejsc zerowych, ponieważ:

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}$

---

l)

$\frac{x-2}{x^3-x^2-4x+4}$

Określmy dziedzinę wyrażenia. Mianownik nie może być równy zero, zatem:

$x^3-x^2-4x+4\ne 0$

Zastosujmy metodę grupowania wyrazów.

$x^2\left(x-1\right)-4\left(x-1\right)\ne 0$

$\left(x-1\right)\left(x^2-4\right)\ne 0$

Stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$, otrzymujemy

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\ne 0$

Zatem

$x-1\ne 0\wedge x+2\ne 0x-2\ne 0$

$x=1\wedge x\ne -2\wedge x\ne 2$

Zatem dziedziną wyrażenia jest zbiór

$\mathbb{R}\setminus \left\{-2,1,2\right\}$