a)

Rozwiążmy równanie:

$2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$

Niech:

$\sin x=t$, gdzie $t\in \left[-1;1\right]$

Wtedy równanie przyjmuje postać:

$2t^2+t-1=0$

$\Delta =1^2-4\cdot 2\cdot \left(-1\right)=1+8=9$

$\sqrt{\Delta }=3$

$t_1=\frac{-1-3}{2\cdot 2}=-\frac{4}{4}=-1\in \left[-1;1\right]$

$t_2=\frac{-1+3}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\in \left[-1;1\right]$

Zatem:

$\sin x=-1$  lub  $\sin x=\frac{1}{2}$

• Rozwiążmy równanie:

$\sin x=-1$

Zauważmy, że:

$\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$

Funkcja $y=\sin x$ jest okresowa o okresie $2\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

• Rozwiążmy równanie:

$\sin x=\frac{1}{2}$

Zauważmy, że:

$\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$

$\sin \left(\frac{5}{6}\pi \right)=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$

Funkcja $y=\sin x$ jest okresowa o okresie $2\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5}{6}\pi +2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Wobec tego otrzymujemy, że rozwiązaniem wyjściowego równania są:

$x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$ lub $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ lub $x=\frac{5}{6}\pi +2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

---

b)

Rozwiążmy równanie:

${\sin }^{2}x-3\cos x-3=0$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej, powyższe równanie możemy zapisać w postaci:

$1-{\cos }^{2}x-3\cos x-3=0$

$-{\cos }^{2}x-3\cos x-2=0|\cdot \left(-1\right)$

${\cos }^{2}x+3\cos x+2=0$

Niech:

$\cos x=t$, gdzie $t\in \left[-1;1\right]$

Wtedy równanie przyjmuje postać:

$t^2+3t+2=0$

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$

$\sqrt{\Delta }=1$

$t_1=\frac{-3-1}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2\notin \left[-1;1\right]$

$t_2=\frac{-3+1}{2\cdot 1}=-\frac{2}{2}=-1\in \left[-1;1\right]$

Zatem:

$\cos x=-1$  

Rozwiążmy powyższe równanie.

Zauważmy, że:

$\cos \pi =-1$

Wyjściowe równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań w postaci:

$x=\pi +2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Wobec tego otrzymujemy, że rozwiązaniem wyjściowego równania są:

$x=\pi +2k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

---

c)

Rozwiążmy równanie:

${\mathrm{tg}}^{4}x-4{\mathrm{tg}}^{2}x+3=0$

Niech:

${\mathrm{tg}}^{2}x=t$, gdzie $t\in \left[0;+\infty \right)$

Wtedy równanie przyjmuje postać:

$t^2-4t+3=0$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$

$\sqrt{\Delta }=2$

$t_1=\frac{4-2}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1\in \left[0;+\infty \right)$

$t_2=\frac{4+2}{2\cdot 1}=\frac{6}{2}=3\in \left[0;+\infty \right)$

Zatem:

${\mathrm{tg}}^{2}x=1$  lub  ${\mathrm{tg}}^{2}x=3$

czyli:

$\mathrm{tg}x=1\vee \mathrm{tg}x=-1\vee \mathrm{tg}x=\sqrt{3}\vee \mathrm{tg}x=-\sqrt{3}$

• Rozwiążmy równanie:

$\mathrm{tg}x=1$

Zauważmy, że:

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$

Funkcja $y=\mathrm{tg}x$ jest okresowa o okresie $\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

• Rozwiążmy równanie:

$\mathrm{tg}x=-1$

Zauważmy, że:

$\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1$

Funkcja $y=\mathrm{tg}x$ jest okresowa o okresie $\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

• Rozwiążmy równanie:

$\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$

Zauważmy, że:

$\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$

Funkcja $y=\mathrm{tg}x$ jest okresowa o okresie $\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

• Rozwiążmy równanie:

$\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}$

Zauważmy, że:

$\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$

Funkcja $y=\mathrm{tg}x$ jest okresowa o okresie $\pi$. Zatem podane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są one w postaci:

$x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$ dla $k\in \mathbb{Z}$

Wobec tego otrzymujemy, że rozwiązaniem wyjściowego równania są:

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ lub $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$  lub $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ lub $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$la $k\in \mathbb{Z}$