a)

Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=\cos x-1$ dla $x\in \left[-\pi ;\pi \right]$

Wykres funkcji $f$ naszkicujemy w trzech krokach.

KROK 1

Naszkicujmy wykres funkcji $y=\cos x$.

KROK 2

Przesuńmy wykres podanej funkcji $y=\cos x$ o jedną jednostkę w dół, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $y=\cos x-1$.

KROK 3

Ograniczmy dziedzinę powstałej funkcji do przedziału $\left[-\pi ;\pi \right]$, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $f$.

Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcji $f$. Będzie to:

$\underline{\underline{Z{W}_f=\left[-1;0\right]}}$

---

b)

Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ dla $x\in \left[-\pi ;\pi \right]$

Wykres funkcji $f$ naszkicujemy w trzech krokach.

KROK 1

Naszkicujmy wykres funkcji $y=\sin x$.

KROK 2

Przesuńmy wykres podanej funkcji $y=\sin x$ o wektor $\left[\frac{\pi }{4},0\right]$, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

KROK 3

Ograniczmy dziedzinę powstałej funkcji do przedziału $\left[-\pi ;\pi \right]$, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $f$.

Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcji $f$. Będzie to:

$\underline{\underline{Z{W}_f=\left[-1;1\right]}}$

---

c)

Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=\left|\mathrm{tg}x\right|+1$ dla $x\in \left[-\pi ;\pi \right]\setminus \left\{-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right\}$

Wykres funkcji $f$ naszkicujemy w czterech krokach.

KROK 1

Naszkicujmy wykres funkcji $y=\mathrm{tg}x$.

KROK 2

Odbijmy względem osi $OX$ tę część wykresu powstałej funkcji, która leży pod osią, oraz pozostawić bez zmian tę część wykresu powstałej funkcji, która leży nad osią, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $y=\left|\mathrm{tg}x\right|$.

KROK 3

Przesuńmy wykres podanej funkcji o jedną jednostkę w górę, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $y=\left|\mathrm{tg}x\right|+1$.

KROK 4

Ograniczmy dziedzinę powstałej funkcji do przedziału $\left[-\pi ;\pi \right]\setminus \left\{-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right\}$, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $f$.

Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcji $f$. Będzie to:

$\underline{\underline{Z{W}_f=\left[1;+\infty \right)}}$

---

d)

Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=\cos x\cdot \sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}$ dla $x\in \left[-\pi ;\pi \right]\setminus \left\{-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right\}$

Zapiszmy wzór funkcji $f$ w innej postaci. Mamy:

$f\left(x\right)=\cos x\cdot \sqrt{1+{\mathrm{tg}}^{2}x}=\cos x\cdot \sqrt{1+\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=\cos x\cdot \sqrt{\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}=$

$=\cos x\cdot \sqrt{\frac{1}{{\cos }^{2}x}}=\cos x\cdot \left|\frac{1}{\cos x}\right|=\frac{\cos x}{\left|\cos x\right|}$

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej, możemy zapisać:

$f(x)=\{\begin{array}{l}1,\text{gdy}\cos x>0\\ -1,\text{gdy}\cos x<0\end{array}$

 Aby określić znak wyrażenia $\cos x$ dla $x\in \left[-\pi ;\pi \right]\setminus \left\{-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right\}$, naszkicujmy wykres funkcji $y=\cos x$ dla $x\in \left[-\pi ;\pi \right]\setminus \left\{-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right\}$.

W wykresu odczytujemy, że:

$\cos x>0$ dla $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$

$\cos x<0$ dla $x\in \left(-\pi ;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$

Zatem:

$f(x)=\{\begin{array}{l}1,\text{gdy}x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\\ -1,\text{gdy}x\in \left(-\pi ;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)\end{array}$

Naszkicujmy wykres funkcji $f$.

Z wykresu odczytujemy zbiór wartości funkcji $f$. Będzie to:

$\underline{\underline{Z{W}_f=\left\{-1;1\right\}}}$