Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy Zachodzą wzory: (1) $\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\sin y\cos x$ (2) $\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\sin y\cos x$ (3) $\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ (4) $\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$ (5) $\mathrm{tg}\left(x+y\right)=\frac{\mathrm{tg}x+\mathrm{tg}y}{1-\mathrm{tg}x\mathrm{tg}y}$ (6) $\mathrm{tg}\left(x-y\right)=\frac{\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}y}{1+\mathrm{tg}x\mathrm{tg}y}$

---

a)

Obliczmy wartość liczby:

$\sin 15^{\circ }$

Zauważmy, że:

$15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$

Korzystając ze wzoru (2) na sinus różnicy kątów, otrzymujemy:

$\sin 15^{\circ }=\sin \left(45^{\circ }-30^{\circ }\right)=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\sin 30^{\circ }{\cos }^{}45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=$

$=\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{\sin 15^{\circ }=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}}$

---

b)

Obliczmy wartość liczby:

$\cos 105^{\circ }$

Zauważmy, że:

$105^{\circ }=45^{\circ }+60^{\circ }$

Korzystając ze wzoru (3) na kosinus sumy kątów, otrzymujemy:

$\cos 105^{\circ }=\cos \left(45^{\circ }+60^{\circ }\right)=\cos 45^{\circ }\cos 60^{\circ }-\sin 45^{\circ }\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=$

$=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{\cos 105^{\circ }=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}}$

---

c)

Obliczmy wartość liczby:

$\mathrm{tg}105^{\circ }$

Zauważmy, że:

$105^{\circ }=45^{\circ }+60^{\circ }$

Korzystając ze wzoru (5) na tangens sumy kątów, otrzymujemy:

$\mathrm{tg}105^{\circ }=\mathrm{tg}\left(45^{\circ }+60^{\circ }\right)=\frac{\mathrm{tg}45^{\circ }+\mathrm{tg}60^{\circ }}{1-\mathrm{tg}45^{\circ }\mathrm{tg}60^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}\cdot 1}=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=$

$=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}\cdot \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\frac{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}{1-3}=\frac{1+2\sqrt{3}+3}{-2}=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}=\frac{-2\left(-2-\sqrt{3}\right)}{-1}=-2-\sqrt{3}$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{\mathrm{tg}105^{\circ }=-2-\sqrt{3}}}$