Związki między funkcjami trygonometrycznymi Zachodzą wzory: (1) $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ dla $\alpha \ne \frac{1}{2}\pi +k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (2) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

---

a)

Wiemy, że $\alpha$ jest kątem ostrym oraz:

$\sin \alpha =0,6$

Korzystając ze wzoru (2), możemy zapisać:

$0,6^2+{\cos }^2\alpha =1$

$0,36+{\cos }^2\alpha =1|-0,36$

${\cos }^2\alpha =0,64$

$\cos \alpha =0,8\vee \cos \alpha =-0,8$

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego przyjmują wartości dodatnie, zatem:

$\cos \alpha =0,8=\frac{4}{5}$

Korzystając ze wzoru (1), otrzymujemy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{0,6}{0,8}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{\cos \alpha =\frac{4}{5}}}$ oraz $\underline{\underline{\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}}}$

---

b)

Wiemy, że $\alpha$ jest kątem ostrym oraz:

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}$

Korzystając ze wzoru (2), możemy zapisać:

${\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)}^2+{\sin }^2\alpha =1$

$\frac{2}{9}+{\sin }^2\alpha =1|-\frac{2}{9}$

${\sin }^2\alpha =\frac{7}{9}$

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{3}\vee \sin \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{3}$

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego przyjmują wartości dodatnie, zatem:

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{3}$

Korzystając ze wzoru (1), otrzymujemy:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{7}}{3}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}=\frac{\sqrt{7}}{3}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$

Zatem otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{3}}}$ oraz $\underline{\underline{\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}}$