a)

Dane jest równanie:

$6^x=k-5$

Zapiszmy to równanie w innej postaci:

$6^x+5=k$

Aby określić liczbę rozwiązań tego równania w zależności od $k$, naszkicujmy wykres funkcji:

 $g\left(x\right)=6^x+5$

Naszkicujemy go w dwóch krokach. 

KROK 1

Naszkicujmy wykres funkcji $f$ zadanej wzorem:

$f\left(x\right)=6^x$

KROK 2

Przesuńmy wykres funkcji $f$ o pięć jednostek w górę, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $g$.

Zbadajmy liczbę pierwiastków równania $g\left(x\right)=k$ w oparciu o interpretację graficzną równania.

Naszkicujmy wykres funkcji $g$. Ponadto, zaznaczmy na rysunku kilka prostych  $y=k$ dla pewnych $k\in \mathbb{R}$.

Rozwiązaniem równania $g\left(x\right)=k$ będą takie $x$, dla których wykres i prosta mają punkt wspólny.

Analizując położenie prostych oraz położenie ich punktów wspólnych z wykresem zauważamy, że podane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy

$k>5$

Zatem:

$\underline{\underline{k\in (5;+\infty )}}$

---

b)

Dane jest równanie:

$\left|3^x-1\right|$

Aby określić liczbę rozwiązań tego równania w zależności od $k$, naszkicujmy wykres funkcji:

 $h\left(x\right)=\left|3^x-1\right|$

Naszkicujemy go w trzech krokach. 

KROK 1

Naszkicujmy wykres funkcji $f$ zadanej wzorem:

$f\left(x\right)=3^x$

KROK 2

Przesuńmy wykres funkcji $f$ o jedną jednostkę w dół, dzięki czemu otrzymamy wykres funkcji $h$ zadanej wzorem:

$y=3^x-1$

KROK 3

Odbijmy względem osi $OX$ te punkty powstałego wykresu, które znajdują się pod osią, natomiast zostawmy bez zmian te punkty wykresu, które znajdują się nad osią. Dzięki temu dostaniemy wykres funkcji $h$.

Zbadajmy liczbę pierwiastków równania $h\left(x\right)=k$ w oparciu o interpretację graficzną równania.

Naszkicujmy wykres funkcji $h$. Ponadto, zaznaczmy na rysunku kilka prostych  $y=k$ dla pewnych $k\in \mathbb{R}$.

Rozwiązaniem równania $h\left(x\right)=k$ będą takie $x$, dla których wykres i prosta mają punkt wspólny.

Analizując położenie prostych oraz położenie ich punktów wspólnych z wykresem zauważamy, że podane równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy

$\underline{\underline{k\in \left\{0\right\}\cup (1;+\infty )}}$