Dane jest równanie z parametrem $m$:

$x^2-\left(m-5\right)x+m^2-6m+5=0$

Sprawdźmy, dla jakich wartości parametru $m$ równanie ma dwa różne pierwiastki $x_1$, $x_2$ różnych znaków.

---

Jeżeli równanie ma dwa różne pierwiastki, to:

$\Delta >0$

${\left(-\left(m-5\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m^2-6m+5\right)>0$

${\left(m-5\right)}^2-4\left(m^2-6m+5\right)>0$

$m^2-10m+25-4m^2+24m-20>0$

$-3m^2+14m+5>0$

W celu rozwiązania nierówności, rozwiążmy równanie pomocnicze:

$-3m^2+14m+5=0$

${\Delta }_m=14^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 5=196+60=256$

$\sqrt{{\Delta }_m}=16$

$m_1=\frac{-14-16}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{30}{6}=5$

$m_2=\frac{-14+16}{2\cdot \left(-3\right)}=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=-3m^2+14m+5$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $m$, dla których wartości funkcji są dodatnie, czyli wykres leży nad osią.

Zatem podane równanie ma dwa pierwiastki, gdy:

$m\in \left(-\infty ;-\frac{1}{3}\right)\cup \left(5;+\infty \right)$

---

Jeżeli pierwiastki równania mają być różnych znaków, to oznacza, że ich iloczyn będzie liczbą ujemną. Zatem:

$x_1\cdot x_2<0$

Korzystając ze wzoru Viète'a na iloczyn pierwiastków równania kwadratowego, powyższą nierówność możemy zapisać w następujący sposób:

$\frac{m^2-6m+5}{1}<0$

$m^2-6m+5<0$

W celu rozwiązania nierówności, rozwiążmy równanie pomocnicze:

$m^2-6m+5=0$

${\Delta }_m={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$

$\sqrt{{\Delta }_m}=4$

$m_1=\frac{6-4}{2}=\frac{2}{2}=1$

$m_2=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=m^2-6m+5$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $m$, dla których wartości funkcji są ujemne, czyli wykres leży pod osią.

Zatem:

$m\in \left(1;5\right)$

---

Zatem mamy, że:

$m\in \left(-\infty ;-3\right)\cup \left(1;+\infty \right)$  oraz  $m\in \left(1;5\right)$

Zaznaczmy na osi na różowo pierwszy z przedziałów, natomiast na pomarańczowo drugi z przedziałów.

Interesuje nas część wspólna zaznaczonych przedziałów.

Zatem ostatecznie otrzymujemy, że warunki zadania są spełnione przez:

$\underline{\underline{m\in \left(1;5\right)}}$