Funkcja $f$ zadana jest wzorem:

$f\left(x\right)=3x^2+bx+21$

Funkcja $f$ na dwa miejsca zerowe, które są całkowite i ujemne.

Wyznaczmy wartość współczynnika $b$.

---

Aby ta funkcja miała dwa pierwiastki, to:

$\Delta >0$

$b^2-4\cdot 3\cdot 31>0$

$b^2-252>0$

W celu znalezienia rozwiązań nierówności, rozwiążmy równanie pomocnicze:

$b^2-252=0|+252$

$b^2=252$

$b=\sqrt{252}\vee b=-\sqrt{252}$

$b=6\sqrt{7}\vee b=-6\sqrt{7}$

Naszkicujmy przybliżony wykres funkcji $y=b^2-252$.

Z rysunku odczytujemy rozwiązanie nierówności. Będą to te $b$, dla których wartości funkcji są dodatnie, czyli wykres leży nad osią.

Zatem funkcja ma dwa miejsca zerowe, gdy:

$b\in \left(-\infty ;-6\sqrt{7}\right)\cup \left(6\sqrt{7};+\infty \right)$

---

Korzystając ze wzoru Viète'a na iloczyn pierwiastków równania kwadratowego, otrzymujemy:

$x_1\cdot x_2=\frac{21}{3}=7$

Całkowite dzielniki liczby $7$ są liczbami ze zbioru $\{-7,-1,1,7\}$. 

Jeżeli $x_1$ oraz $x_2$ mają być całkowite i naturalne, to:

$x_1=-1\wedge x_2=-7$

Obliczmy wartość współczynnika $b$,  korzystając z wzoru Viète'a na sumę pierwiastków równania kwadratowego. Mamy:

$x_1+x_2=-\frac{b}{3}$

$-1+\left(-7\right)=-\frac{b}{3}$

$-8=-\frac{b}{3}|\cdot \left(-3\right)$

$24=b$

$b=24$

---

Ostatecznie otrzymaliśmy, że:

$\underline{\underline{b=24}}$