Dane jest równanie:

$x^2-5x-3=0$

 To równanie posiada dwa pierwiastki, gdyż:

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=25+12=37>0$

Korzystając ze wzorów Viète'a mamy:

$x_1\cdot x_2=\frac{-3}{1}=-3$

$x_1+x_2=-\frac{-5}{1}=5$

Znajdźmy sumę odwrotności czwartych potęg tego równania.

$\frac{1}{x_1^4}+\frac{1}{x_2^4}=\frac{x_2^4}{x_1^4{x}_2^4}+\frac{x_1^4}{x_2^4{x}_1^4}=\frac{x_1^4+x_2^4}{x_2^4{x}_1^4}=\frac{x_1^4+x_2^4+2x_1^2{x}_2^2-2x_1^2{x}_2^2}{x_2^4{x}_1^4}=\frac{(x_1^2+x_2^2{)}^2-2x_1^2{x}_2^2}{x_2^4{x}_1^4}=$

$=\frac{((x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2{)}^2-2x_1^2{x}_2^2}{x_2^4{x}_1^4}=\frac{((x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2{)}^2-2(x_1{x}_2{)}^2}{(x_1{x}_2{)}^4}=$

$=\frac{{\left(5^2-2\cdot \left(-3\right)\right)}^2-2\cdot {\left(-3\right)}^2}{{\left(-3\right)}^4}=\frac{{\left(25+6\right)}^2-2\cdot 9}{81}=\frac{31^2-18}{81}=\frac{961-18}{81}=\frac{934}{81}=11\frac{52}{81}$

Zatem ostatecznie:

$\underline{\underline{\frac{1}{x_1^4}+\frac{1}{x_2^4}=11\frac{52}{81}}}$