Wartość bezwzględna Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartością bezwzględną z tej liczby nazywamy wyrażenie $\left|x\right|$, gdzie $|x|=\{\begin{array}{l}x\text{dla}x⩾0\\ -x\text{dla}x<0\end{array}$

---

Dana jest nierówność:

$\left|x\right|-2\left|x-4\right|>1$

Znajdźmy wszystkie rozwiązania nierówności należące do zadanych przedziałów.

---

a)

Szukamy rozwiązań w przedziale $\left(-\infty ;0\right)$.

Zauważmy, że dla $x\in \left(-\infty ;0\right)$:

$x<0$   oraz $x-4<0$ 

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej, wtedy na zadanym przedziale:

$\left|x\right|=-x$   oraz   $\left|x-4\right|=-\left(x-4\right)$

Wtedy wyjściowa nierówność przyjmuje postać:

$-x+2\left(x-4\right)>1$

$-x+2x-8>1|+8$

$x>9$

$x\in \left(9;+\infty \right)$

Rozwiązaniem nierówności będzie część wspólna przedziałów $\left(-\infty ;0\right)$ oraz $\left(9;+\infty \right)$.

Odczytamy część wspólną tych przedziałów z rysunku:

Odczytujemy, że nierówność nie ma rozwiązań dla $x\in \left(-\infty ;0\right)$.

---

b)

Szukamy rozwiązań w przedziale $\left[0;4\right)$.

Zauważmy, że dla $x\in \left[0;4\right)$:

$x⩾0$   oraz $x-4<0$ 

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej, wtedy na zadanym przedziale:

$\left|x\right|=x$   oraz   $\left|x-4\right|=-\left(x-4\right)$

Wtedy wyjściowe równanie przyjmuje postać:

$x+2\left(x-4\right)>1$

$x+2x-8>1|+8$

$3x>9|:3$

$x>3$

$x\in \left(3;+\infty \right)$

Rozwiązaniem nierówności będzie część wspólna przedziałów: $\left[0;4\right)$ oraz $\left(3;+\infty \right)$.

Odczytamy część wspólną tych przedziałów z rysunku:

Odczytujemy, że rozwiązaniem nierówności dla $x\in \left[0;4\right)$ jest przedział $\left(3;4\right)$.

---

c)

Szukamy rozwiązań w przedziale $\left[4;+\infty \right)$.

Zauważmy, że dla $x\in \left[4;+\infty \right)$:

$x>0$   oraz $x-4⩾0$ 

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej, wtedy na zadanym przedziale:

$\left|x\right|=x$   oraz   $\left|x-4\right|=x-4$

Wtedy wyjściowe równanie przyjmuje postać:

$x-2\left(x-4\right)>1$

$x-2x+8>1|-8$

$-x>-7|\cdot \left(-1\right)$

Skoro mnożymy nierówność przez liczbę ujemna, to zmieniamy jej zwrot. Otrzymujemy:

$x<7$

$x\in \left(-\infty ;7\right)$

Rozwiązaniem nierówności będzie część wspólna przedziałów: $\left[4;+\infty \right)$ oraz $\left(-\infty ;7\right)$.

Odczytamy część wspólną tych przedziałów z rysunku:

Odczytujemy, że rozwiązaniem nierówności dla $x\in \left[4;+\infty \right)$ jest przedział $\left[4;7\right)$.

---

d)

Korzystając z podpunktów a), b) oraz c) otrzymujemy, że dla $x\in \mathbb{R}$ rozwiązaniem wyjściowej nierówności jest suma otrzymanych w tych podpunktach przedziałów:

$\left(3;4\right)\cup \left[4;7\right)$

Odczytamy sumę tych przedziałów z rysunku:

Odczytujemy, że rozwiązaniem nierówności dla $x\in \mathbb{R}$ jest przedział $\left(3;7\right)$.