$\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{(a+b{)}^2}\right):\left(\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right)$

Zauważmy, że możemy zastosować wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$ do wyrażenia w drugim nawiasie. Jest ono wtedy w postaci:

$\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}=\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{(a-b)(a+b)}=$ 

$=\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)}-\frac{a^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a^2+ab-a^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{ab}{(a-b)(a+b)}$

Wyjściowe wyrażenie możemy zatem zapisać w postaci:

$\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{(a+b{)}^2}\right):\left(\frac{ab}{(a-b)(a+b)}\right)$

Wyznaczmy dziedzinę powyższego wyrażenia:

$a+b\ne 0\wedge {\left(a+b\right)}^2\ne 0\wedge \left(a-b\right)\left(a+b\right)\ne 0\wedge \frac{ab}{(a-b)(a+b)}\ne 0$

$a+b\ne 0\wedge a+b\ne 0\wedge a-b\ne 0\wedge a+b\ne 0ab\ne 0$

$a+b\ne 0\wedge a-b\ne 0\wedge ab\ne 0$

$a\ne -b\wedge a\ne b\wedge a\ne 0\wedge b\ne 0$

$D=\left\{a,b\in \mathbb{R}:a\ne b\wedge a\ne -b\wedge a\ne 0\wedge b\ne 0\right\}$

Doprowadźmy do najprostszej postaci wyrażenie:

$\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{(a+b{)}^2}\right):\left(\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right)=$

$=\left(\frac{a^2(a+b)}{(a+b{)}^2}-\frac{a^3}{(a+b{)}^2}\right):\left(\frac{ab}{(a-b)(a+b)}\right)=$

$=\left(\frac{a^2(a+b)-a^3}{(a+b{)}^2}\right):\left(\frac{ab}{(a-b)(a+b)}\right)=$

$=\left(\frac{a^3+a^{2}b-a^3}{(a+b{)}^2}\right):\left(\frac{ab}{(a-b)(a+b)}\right)=$

$=\left(\frac{a^{2}b}{(a+b{)}^2}\right):\left(\frac{ab}{(a-b)(a+b)}\right)=$

$=\frac{a^{2}b}{(a+b{)}^2}\cdot \frac{(a-b)(a+b)}{ab}=$

$=\frac{a\cdot \cancel{ab}}{(a+b{)}^{\cancel{2}}}\cdot \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}}{\cancel{ab}}=$

$=\frac{a(a-b)}{a+b}$

Zatem

$\left(\frac{a^2}{a+b}-\frac{a^3}{(a+b{)}^2}\right):\left(\frac{a}{a-b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right)=\frac{a(a-b)}{a+b}$