Twierdzenie

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi $180^{\circ }$.

rys. 1.0

Podział trójkątów ze względu na kąty
ostrokątny	prostokątny	rozwartokątny
wszystkie kąty ostre	jeden kąt prosty i dwa ostre	jeden kąt rozwarty i dwa ostre
rys.1.1	rys.1.2	rys.1.3

---

Szczególne rodzaje trójkątów:

• równoramienny - ma co najmniej dwa boki równej długości, szczególnym rodzajem jest trójkąt równoboczny
• równoboczny - ma wszystkie boki równej długości

rys.2.1

Twierdzenie

Kąt leżący naprzeciwko dłuższego boku trójkąta jest większy niż kąt leżący naprzeciwko krótszego boku.

Twierdzenie. Nierówność trójkąta

W trójkącie suma długości dwóch boków jest zawsze większa od długości trzeciego boku.

rys.2.2

Uwaga: Jeśli wiemy który bok jest najdłuższy, to wystarczy sprawdzić, czy sług długości dwóch krótszych boków jest większa niż długość trzeciego boku tego trójkąta.

---

Ciekawym wnioskiem z twierdzenia Talesa jest też twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trójkąta

Twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trójkąta

Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i jego długość stanowi połowę długości tego boku.

rys.3.1 (czy ta strzała spoko, czy lepiej bez?)

---

Zadanie 1. W trójkącie miary kątów są równe: $2\alpha$, $\alpha -20^{\circ }$ i $2\alpha +30^{\circ }$.  Bok leżący na przeciwko kąta o mierze $2\alpha$ ma długość $15\mathrm{cm}$. 

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe,
lub F, jeśli jest fałszywe.

Opisany trójkąt jest rozwartokątny.	P	F
Bok leżący naprzeciwko kąta o mierze $2\alpha +30^{\circ }$ ma długość większą niż $15\mathrm{cm}$.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

$2\alpha +\alpha -20^{\circ }+2\alpha +30^{\circ }=180^{\circ }$

$5\alpha +10^{\circ }=180^{\circ }$

$5\alpha =170^{\circ }$

$\alpha =34^{\circ }$

$2\alpha =2\cdot 34^{\circ }=68^{\circ }$ 

$\alpha -20^{\circ }=34^{\circ }-20^{\circ }=14^{\circ }$

$2\alpha +30^{\circ }=2\cdot 34^{\circ }+30^{\circ }=98^{\circ }$

Jeden z kątów jest rozwarty, więc trójkąt jest rozwartokątny.

Zdanie jest prawdziwe.

Zdanie drugie

$2\alpha +30^{\circ }>2\alpha$

Skoro bok leżący na przeciwko kąta o mierze $2\alpha$ ma długość $15\mathrm{cm}$, to bok leżący naprzeciwko kąta o większej mierze musi mieć większą długość.

Zdanie jest prawdziwe.

---

Zadanie 2. Dany jest pewien trójkąt, w którym dwa boki mają długości $13\mathrm{cm}$ i $16\mathrm{cm}$. 

Dokończ zdanie. Wybierz poprawną odpowiedź spośród podanych.

Najmniejsza liczba naturalna mogąca wyrażać długość trzeciego boku tego trójkąta jest równa

A. $2\mathrm{cm}$                            B.  $3\mathrm{cm}$                           C. $4\mathrm{cm}$                            D. $5\mathrm{cm}$

Rozwiązanie

$2\mathrm{cm}+13\mathrm{cm}<16\mathrm{cm}$

$3\mathrm{cm}+13\mathrm{cm}=16\mathrm{cm}$

$4\mathrm{cm}+13\mathrm{cm}>16\mathrm{cm}$

$5\mathrm{cm}+13\mathrm{cm}>16\mathrm{cm}$

Ale $4\mathrm{cm}<5\mathrm{cm}$.

---

Zadanie 3. Dokończ poniższe zdanie, wpisując w puste miejsce odpowiednią liczbę całkowitą.

Z odcinków o długościach: $6$, $2x-10$ oraz $x+6$ można zbudować trójkąt równoramienny. Wynika stąd, że $x$ jest równy ........................ .

Rozwiązanie

1)

$6=2x-10$ 

$16=2x$

$x=8$

Wtedy odcinki mają długości: $6,6,14$.

$6+6<14$

Więc z odcinków o takiej długości nie można zbudować trójkąta.

2)

$6=x+6$ 

$x=0$

Wtedy: $2x-10=-10$, a długość odcinka musi być liczbą dodatnią. Więc $x$ nie może być równy $0$.

3)

$2x-10=x+6$

$x=16$

Wtedy odcinki mają długości: $22,22,6$.

$6+22>22$

Z odcinków o takiej długości można zbudować trójkąt.

Zatem $x=16$.