W wybranych wzorach maturalnych, na końcu, znajduje się tabela z wartościami funkcji trygonometrycznych dla kątów od zera stopni do 90 stopni. Wartości te są zaokrąglone do czterech miejsc po przecinku. Z ich pomocą możemy dla danego kąta odczytać wartości funkcji trygonometrycznych, albo mając daną wartość wybranej funkcji trygonometrycznej pewnego kąta, możemy odczytać przybliżoną miarę tego kąta. 

Podkreślmy tutaj, że w tabeli tej znajdują się przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, a nie ich dokładne wartości. Zobaczmy jak wykorzystać tę tabelę w przykładzie. 

 

Przykład x. Odczytaj z tablic przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych kąta o mierze ...

$\sin \alpha \approx$

$\cos \alpha \approx$

$\mathrm{tg}\alpha \approx$

Przykład x. Odczytaj z tablic przybliżone miary kątów ostrych $\alpha$.

a) $\sin \alpha =\to \alpha \approx$

b) $\cos \alpha =\to \alpha \approx$

c) $\mathrm{tg}\alpha =\to \alpha \approx$

 

---

 

 

(to albo na odwrót -> Z omówionej tabeli możemy odczytywać jedynie przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów od 0 do 90 stopni. W tej tabeli przedstawione mamy dokładne wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów. Podobną tabelę znajdziecie w kartach wzorów dostępnych na maturze.)

 

Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów

$\alpha$	$0^{\circ }$	$30^{\circ }$	$45^{\circ }$	$60^{\circ }$	$90^{\circ }$
$\sin \alpha$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos \alpha$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\mathrm{tg}\alpha$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	nie istnieje

 

Przykład x. Oblicz

a)

b)

c)

d)

 

 

Przykład x. Wyznacz kąt ostry $\alpha$, dla którego zachodzi równość $\frac{2}{3}\left(3+\mathrm{tg}\alpha \right)=2\frac{2}{3}$. 

$\frac{2}{3}\left(3+\mathrm{tg}\alpha \right)=2\frac{2}{3}$

$\frac{2}{3}\left(3+\mathrm{tg}\alpha \right)=\frac{8}{3}|\cdot 3$

$2\left(3+\mathrm{tg}\alpha \right)=8$

$6+2\mathrm{tg}\alpha =8$

$2\mathrm{tg}\alpha =2|:2$

$\mathrm{tg}\alpha =1\to \alpha =45^{\circ }$

Odp.: $\alpha =45^{\circ }$

 

Przykład x. Wyznacz brakujące długości boków podanego trójkąta prostokątnego. (rysunek 1) (albo do rozwiazywania trojkatow)

$\sin 60^{\circ }=\frac{10}{b}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{10}{b}$ (proporcja)

$\sqrt{3}b=20|:\sqrt{3}$

$b=\frac{20}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$

 

$\mathrm{tg}60^{\circ }=\frac{10}{a}$

$\sqrt{3}=\frac{10}{a}|\cdot a$

$\sqrt{3}a=10|:\sqrt{3}$

$a=\frac{10}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

Odp.: $a=\frac{10\sqrt{3}}{3}$,  $b=\frac{20\sqrt{3}}{3}$

 

 

---

 

 

 

Zadanie x. Dany jest kąt ostry $\alpha$ dla którego $\cos \alpha =\frac{1}{3}$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $\alpha$ należy do przedziału

A.  $\left(0^{\circ },30^{\circ }\right)$                    B.  $\left(30^{\circ },45^{\circ }\right)$                    C.  $\left(45^{\circ },60^{\circ }\right)$                    D.  $\left(60^{\circ },90^{\circ }\right)$

Rozwiązanie

(Zauważmy, że znamy dokłądne wartości funkcji cosinus dla kątów będących krańcami przedziałów podanych w odpowiedziach. Wiemy, że:)

$\cos 0^{\circ }=1$

$\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$

$\cos 90^{\circ }=0$

(Zastanówmy teraz się nad tym, pomiędzy jakimi liczbami znajduje się wartość jedna trzecia, czyli ta podana z zadania)

$0<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$

$\cos 90^{\circ }<\frac{1}{3}<\cos 60^{\circ }$

$\cos \alpha =\frac{1}{3}\to \alpha \in \left(60^{\circ },90^{\circ }\right)$

II sp -> odczytanie z tablic 

---

 

 

Zadanie x. Dany jest kąt ostry $\alpha$ spełniający warunek $4\sin \alpha -\sqrt{3}=2\left(\sqrt{3}-\sin \alpha \right)$.

Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $\alpha$ jest równa

A.  $30^{\circ }$                    B.  $45^{\circ }$                    C.  $60^{\circ }$                    D.  $75^{\circ }$

Rozwiązanie

$4\sin \alpha -\sqrt{3}=2\left(\sqrt{3}-\sin \alpha \right)$

$4\sin \alpha -\sqrt{3}=2\sqrt{3}-2\sin \alpha |+2\sin \alpha$

$6\sin \alpha -\sqrt{3}=2\sqrt{3}|+\sqrt{3}$

$6\sin \alpha =3\sqrt{3}|:6$

$\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\to \alpha =60^{\circ }$