(+ zdarzenie przeciwne)

Definicja

Doświadczeniem losowym nazywamy taki powtarzalny eksperyment, którego wyniku nie jesteśmy w stanie przewidzieć. Znamy jednak każdy możliwy wynik tego doświadczenia.

Definicja

Zdarzeniem elementarnym (ozn. $\omega$) nazywamy możliwy wynik doświadczenia losowego.

Definicja

Przestrzenią zdarzeń elementarnych (ozn. $\Omega$) nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych. 

Przykład 1. Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie monetą. Określ przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.

Rozwiązanie

(No to rzucamy monetą. Jakie możemy mieć wyniki? Możemy wyrzucić orła albo reszkę. Mamy więc dwa zdarzenia elementarne.)

Zdarzenia elementarne:

${\omega }_1-$wypadł orzeł

${\omega }_2-$wypadła reszka

Przestrzeń zdarzeń elementarnych:

$\Omega =\left\{{\omega }_1,{\omega }_2\right\}$, czyli $\Omega =\{$wypadł orzeł, wypadła reszka$\}$.

Dla ułatwienia zapisu oznaczamy wypadnięcie orła przez $O$ i wypadnięcie reszki przez $R$. Mamy wtedy:

$\Omega =\left\{O,R\right\}$

Odp.: $\Omega =\left\{O,R\right\}$.

(Powiedzmy jeszcze, że w modelach matematycznych dokonujemy często pewnych uproszczeń i zakładamy, że zawsze możemy odczytać wynik doświadczenia. Czyli w naszych rozważaniach wykluczamy sytuacje, że na przykład moneta stanie na krawędzi, albo rzucimy ją tak niefortunnie, że ją zgubimy.)

Definicja

Dane jest doświadczenie losowe, dla którego określona jest przestrzeń zdarzeń elementarnych $\Omega$, gdzie $\Omega =\left\{w_1,w_2,\dots ,w_n\right\}$ dla $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni $\Omega$.

Przykłady: $\{w_1\}$, $\{w_3,w_4\}$, $\varnothing$, $\Omega$. Przy czym:

Zbiór pusty $\varnothing$ nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Przestrzeń $\Omega$ nazywamy zdarzeniem pewnym. 

Przykład 2. Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie symetryczną kostką do gry.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych: $\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$.

Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że wypadła liczba oczek mniejsza od $3$. Wtedy:

$A=\left\{1,2\right\}$

Niech $B$ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że wypadła liczba oczek podzielna przez $7$. Wtedy:

$B=\varnothing \to$zdarzenie niemożliwe

Niech $C$ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że wypadła liczba oczek większa od $0$. Wtedy:

$C=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}=\Omega \to$zdarzenie pewne

Definicja

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A$ nazywamy zdarzenie polegające na tym, że nie zajdzie zdarzenie $A$.

Zdarzenie przeciwne do $A$ oznaczamy przez $A^{\prime }$.

Zdarzenia $A$ i $A^{\prime }$ są wykluczające się (nie mogą zajść jednocześnie), czyli każde zdarzenie elementarne określone w danej przestrzeni $\Omega$, albo sprzyja zdarzeniu $A$, albo zdarzeniu $A^{\prime }$.

Przykład - zd przeciwne

Tabela: (wstęp, że zbiory „=” zdarzenia)

Rozwiązanie (I sposób)

Przypadek 1. Liczby $x$ i $y$ są liczbami parzystymi.

$\underset{x}{\underline{10}}\underset{y}{\underline{9}}10\cdot 9=90$

Przypadek 2. Liczba $x$ jest liczbą parzystą, a $y$ jest liczbą nieparzystą.

$\underset{x}{\underline{10}}\underset{y}{\underline{10}}10\cdot 10=100$

Przypadek 3. Liczba $x$ jest liczbą nieparzystą, a $y$ jest liczbą parzystą.

$\underset{x}{\underline{10}}\underset{y}{\underline{10}}10\cdot 10=100$

Korzystając z reguły dodawania mamy:

$90+100+100=290$

Odp.: Jest $290$ par liczb $\left(x,y\right)$ takich, że iloczyn tych liczb jest parzysty.

Rozwiązanie (II sposób)

Wszystkie możliwości utworzenia takich par:

$\underset{x}{\underline{20}}\underset{y}{\underline{19}}20\cdot 19=380$

Liczba par, gdzie iloczyn liczb $x$ i $y$ jest liczbą nieparzystą:

$\underset{x}{\underline{10}}\underset{y}{\underline{9}}10\cdot 9=90$

Liczba par, gdzie iloczyn liczb $x$ i $y$ jest liczbą parzystą:

$380-90=290$

Odp.: Jest $290$ par liczb $\left(x,y\right)$ takich, że iloczyn tych liczb jest parzysty.

Zadanie x. Doświadczenie losowe polega na sześciokrotnym rzucie symetryczną kostką do gry. 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zdarzeniem niemożliwym jest zdarzenie polegające na tym, że

A. na każdej kostce otrzymano różną liczbę oczek.

B. na każdej kostce otrzymano tę samą liczbę oczek.

C. suma wylosowanych oczek wynosi $21$.

D. iloczyn wylosowanych oczek wynosi $21$.

Rozwiązanie

A.  $\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

B.  $\{1,1,1,1,1,1\}$

C.  $6+6+6+1+1+1=21$

D.  $21=7\cdot 3$ (nie możemy inaczej przedstawić tej liczby )