Reguła mnożenia

Jeżeli zbiór $A$ ma $a$ elementów, a zbiór $B$ ma $b$ elementów, to liczba par $\left(x,y\right)$ takich, że $x\in A$ i $y\in B$, jest równa $a\cdot b$.

(Regułę mnożenia możemy uogólnić na n skończonych zbiorów.)

Wybór polega na podjęciu $n$ niezależnych decyzji. Pierwszą decyzję można podjąć na $k_1$ możliwości, drugą na $k_2$ możliwości, $\dots$ i $n$-tą na $k_n$ możliwości. Wtedy takiego wyboru można dokonać na $k_1\cdot k_2\cdot \dots \cdot k_n$ sposobów.

(Reguła mnożenia służy do zliczania wyników danego doświadczenia. W prostych sytuacjach, czyli np wtedy kiedy nie mamy za wiele możliwości podjęcia deycyzji, możemy wypisać wszystkie możliwości. Może to być bardziej czasochłonne, ale takie rozwiązanie zadania jest również w pełni poprawne)

Przykłady - wypisane i reguła mnożenia to samo zadanie

 

 

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry $0$, $3$ i $8$ jest:

A.  $6^3$                    B. $3^6$                    C.  $2\cdot 3^5$                    D.  $2\cdot 5^3$

Rozwiązanie

podkreślenia

$2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=2\cdot 3^5$

 

---

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym nie występują cyfry $7$ i $9$ jest:

A.  $16$                    B. $3584$                    C.  $4096$                    D.  $9000$

Rozwiązanie

podkreślenia

Tworzymy liczby czterocyfrowe z cyfr: $0,1,2,3,4,5,6,8$.

$\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{tysięcy}\end{array}}{\underline{7}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{setek}\end{array}}{\underline{8}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{dziesiątek}\end{array}}{\underline{8}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{jednosˊci}\end{array}}{\underline{8}}$

$7\cdot 8\cdot 8\cdot 8=3584$

 

---

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie, wybierając odpowiedź A, B lub C i poprawne uzasadnienie spośród 1,2 i 3.

Liczb trzycyfrowych o parzystych cyfrach jest

A.	$48$,	ponieważ	1.	liczbę tworzą różne cyfry parzyste.
B.	$100$,		2.	ostatnia cyfra tej liczby jest parzysta.
C.	$450$,		3.	liczbę tworzą cyfry parzyste.

Rozwiązanie

Cyfrą setek tej liczby mogą być: $2$, $4$, $6$, $8$.

Cyfrą dziesiątek tej liczby mogą być: $0$, $2$, $4$, $6$, $8$.

Cyfrą jedności tej liczby mogą być: $0$, $2$, $4$, $6$, $8$.

$\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{setek}\end{array}}{\underline{4}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{dziesiątek}\end{array}}{\underline{5}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{jednosˊci}\end{array}}{\underline{5}}$

$4\cdot 5\cdot 5=100$

 

---

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych o sumie cyfr równej $4$ jest

A.  $4$                    B. $10$                    C.  $12$                    D.  $16$

Rozwiązanie

$1+1+2=4\to 112,121,211$

$2+2+0=4\to 220,202$

$1+3+0=4\to 130,103,310,301$

$4+0+0=4\to 400$

Mamy $10$ liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa $4$.

(Widzimy, że w sumie w porządku będzie tutaj wypisać wszystkie takie liczby. Według proponowanych odpowiedzi widzimy, że takich liczb będzie najwięcej 16, więc nie będzie tutaj problemem wypisanie wszystkich tych liczb.)

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych większych od $5000$ o wszystkich cyfrach parzystych jest

A.  $4\cdot 10\cdot 10\cdot 10$                    B. $2\cdot 10\cdot 10\cdot 10$                    C.  $4\cdot 5\cdot 5\cdot 5$                    D.  $2\cdot 5\cdot 5\cdot 5$

Rozwiązanie

Cyfry parzyste: 0, 2, 4, 6, 8

Tworzymy liczby czterocyfrowe, więc narysujmy sobie 4 podkreślenia. Zastanówmy się jakie cyfry mogą stać w miejscu tysięcy. Na pewno muszą być parzyste. Ale liczby jakie tworzymy muszą być też większe od 5 tysięcy, więc będą nas interesowały tylko cyfry: 6 i 8. 

Cyfrą tysięcy tej liczby mogą być: $6$ i $8$.

(Zauważmy jeszcze, że skoro 6 albo 8 jest cyfrą tysięcy tej liczby to już mamy zagwarantowane, że liczba ta jest większa od 5 tysięcy, więc nie musimy się już tym przejmować)

Cyfrą setek tej liczby mogą być: $0$, $2$, $4$, $6$, $8$.

Cyfrą dziesiątek tej liczby mogą być: $0$, $2$, $4$, $6$, $8$.

Cyfrą jedności tej liczby mogą być: $0$, $2$, $4$, $6$, $8$.

$\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{tysięcy}\end{array}}{\underline{2}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{setek}\end{array}}{\underline{5}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{dziesiątek}\end{array}}{\underline{5}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{jednosˊci}\end{array}}{\underline{5}}$

$2\cdot 5\cdot 5\cdot 5$

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych podzielnych przez $5$ jest

A.  $25$                    B. $81$                    C.  $90$                    D.  $180$

Rozwiązanie    

Cyfrą setek może być dowolna cyfra oprócz $0$.

Cyfrą dziesiątek może być dowolna cyfra.

Cyfrą jedności może być tylko $5$.

$\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{setek}\end{array}}{\underline{9}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{dziesiątek}\end{array}}{\underline{10}}\underset{\begin{array}{c}\text{cyfra}\\ \text{jednosˊci}\end{array}}{\underline{1}}$

$9\cdot 10\cdot 1=90$