Zadanie 1. Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości: $8\mathrm{cm}$ i $10\mathrm{cm}$, a kąt zawarty pomiędzy tymi bokami ma miarę $60^{\circ }$.

Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

rys 1.1

$P=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 10\cdot \sin 60^{\circ }=40\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=20\sqrt{3}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$ 

rys. 1.2

Korzystając z twierdzenia cosinusów mamy:

$x^2=8^2+10^2-2\cdot 8\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }$

$x^2=64+100-160\cdot \frac{1}{2}$

$x^2=164-80$

$x^2=84|\sqrt{},x>0$

$x=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot 21}=2\sqrt{21}$

Zatem boki trójkąta mają długości $8\mathrm{cm}$, $10\mathrm{cm}$ i $2\sqrt{21}\text{cm}$.

$R=\frac{abc}{4P}$

$R=\frac{8\cdot 10\cdot 2\sqrt{21}}{4\cdot 20\sqrt{3}}=2\sqrt{7}\left[\mathrm{cm}\right]$

Odp.: Promień okręgu opisanego na trójkącie ma długość $2\sqrt{7}\text{cm}$.

---

Zadanie 2. Dany jest trójkąt równoramienny, w którym środkowe mają długości: $6\mathrm{cm}$, $6\mathrm{cm}$ i $9\mathrm{cm}$.

2.1. Oblicz długości boków tego trójkąta.

Rozwiązanie

$x^2+3^2=4^2$

$x^2=16-9$

$x>0$

$x^{}=\sqrt{7}$

$\left|AB\right|=2\sqrt{7}$

$\left|BC\right|=y$

$9^2+(\sqrt{7}{)}^2=y^2$

$y^2=81+7$

$y>0$

$y=\sqrt{88}=2\sqrt{22}$

$\left|BC\right|=\left|AC\right|=2\sqrt{22}$

Odp.: Długości boków tego trójkąta to: $2\sqrt{7}$, $2\sqrt{22}$ i $2\sqrt{22}$.

2.2. Oblicz długości wysokości tego trójkąta.

Jedną z wysokości jest $CF$.

$\left|CF\right|=9$

Obliczmy teraz długość wysokości padającej na bok $BC$.

Sprawdźmy czy trójkąt $ABD$ jest ostrokątny, rozwartokątny czy prostokątny.

$\left|AB\right|>\left|AD\right|>\left|BD\right|$

${\left(2{\sqrt{7}}^{}\right)}^2<{\left(\sqrt{22}\right)}^2+6^2$

$28<22+36$

Trójkąt $ABD$ jest ostrokątny.

$z^2+h^2=6^2$

$h^2=36-z^2$

${\left(\sqrt{22}-z\right)}^2+h^2={\left(2\sqrt{7}\right)}^2$

$22-2\sqrt{22}z+z^2+36-z^2=28$

$58-2\sqrt{22}z=28$

$-2\sqrt{22}z=-30$

$z=\frac{30}{2\sqrt{22}}=\frac{15}{\sqrt{22}}=\frac{15\sqrt{22}}{22}$

$h^2=36-{\left(\frac{15\sqrt{22}}{22}\right)}^2=36-\frac{225\cdot 22}{22\cdot 22}=36-\frac{225}{22}=36-10\frac{5}{22}=25\frac{17}{22}=\frac{567}{22}$

$h>0$

$h=\sqrt{\frac{567}{22}}=\sqrt{\frac{81\cdot 7}{22}}=\frac{9\sqrt{7}}{\sqrt{22}}=\frac{9\sqrt{154}}{22}$