Przypomnimy, że w zapisie dziesiętnym liczby 10n występuje tyle zer, ile równa jest liczba n.

---

Zapiszmy liczbę y jako potęgę liczby 10.

$y=100^{100}={\left(10^2\right)}^{100}=10^{2\cdot 100}=10^{200}$

Wiemy, że

$x=10^{10},y=10^{200}$

---

a)

Mamy ustalić , ile cyfr ma zapis dziesiętny liczby x¹⁰. Zapisujemy tę liczbę jako potęgę liczby 10.

$x^{10}={\left(10^{10}\right)}^{10}=10^{10\cdot 10}=10^{100}$

To oznacza, że

$x^{10}=10^{1000}=1\underset{\text{100}\text{zer}}{\underbrace{00\dots 00}}$

Liczba x¹⁰ ma w swoim zapisie cyfrę 1 i 100 zer, zatem ma w swoim zapisie

$1+100=\underline{\underline{101\text{cyfr}}}$

---

b)

Mamy ustalić, ile cyfr ma zapis dziesiętny liczby y¹⁰⁰. Zapisujemy tę liczbę jako potęgę liczby 10.

$y^{100}={\left(10^{200}\right)}^{100}=10^{200\cdot 100}=10^{20000}$

To oznacza, że

$y^{100}=10^{20000}=1\underset{20000\text{zer}}{\underbrace{00\dots 00}}$

Liczba y¹⁰⁰ ma w swoim zapisie cyfrę 1 i 20 000 zer, zatem ma w swoim zapisie

$1+20000=\underline{\underline{20001\text{cyfr}}}$

---

c)

Mamy ustalić, ile cyfr ma zapis dziesiętny liczby x∙y. Zapisujemy tę liczbę jako potęgę liczby 10.

$x\cdot y=10^{10}\cdot 10^{200}=10^{10+200}=10^{210}$

To oznacza, że

$x\cdot y=10^{210}=1\underset{210\text{zer}}{\underbrace{00\dots 00}}$

Liczba x∙y ma w swoim zapisie cyfrę 1 i 210 zer, zatem ma w swoim zapisie

$1+210=\underline{\underline{211\text{cyfr}}}$

---

d)

Mamy ustalić, ile cyfr ma zapis dziesiętny liczby ^y/_x. Zapisujemy tę liczbę jako potęgę liczby 10.

$\frac{y}{x}=\frac{10^{200}}{10^{10}}=10^{200-10}=10^{190}$

To oznacza, że

$\frac{y}{x}=10^{190}=1\underset{190\text{zer}}{\underbrace{00\dots 00}}$

Liczba ^y/_x ma w swoim zapisie cyfrę 1 i 190 zer, zatem ma w swoim zapisie

$1+190=\underline{\underline{191\text{cyfr}}}$

---

e)

Mamy ustalić, ile cyfr ma zapis dziesiętny liczby y^x. Zapisujemy tę liczbę jako potęgę liczby 10.

$y^x={\left(10^{200}\right)}^{10^{10}}=10^{200\cdot 10^{10}}=10^{2\cdot 100\cdot 10^{10}}=10^{2\cdot 10^2\cdot 10^{10}}=10^{2\cdot 10^{2+10}}=10^{2\cdot 10^{12}}$

To oznacza, że

$y^x=10^{2\cdot 10^{12}}=1\underset{2\cdot 10^{12}\text{zer}}{\underbrace{00\dots 00}}$

Liczba y^x ma w swoim zapisie cyfrę 1 i 2∙10¹² zer, zatem ma w swoim zapisie

$\underline{\underline{1+2\cdot 10^{12}}}\text{cyfr}$