a)

Zauważmy, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem, ponieważ ma dwa boki równoległe. 

Rysunek:

Podstawy trapezu są odcinkami równoległymi do osi $x,$ więc ich długość łatwo odczytać z rysunku.

$\left|AB\right|=4-\left(-3\right)=4+3=7$

$\left|CD\right|=2-0=2$

Aby obliczyć długości ramion trapezu, obliczmy najpierw o ile różnią się poszczególne współrzędne odcinka, a następnie skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

Odcinek $AD$: 

• Pierwsze współrzędne punktów $A$ i $D$ różnią się o $0-\left(-3\right)=3$ 
• Drugie współrzędne punktów $A$ i $D$ różnią się o $3-\left(-1\right)=3+1=4$ 

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy:

$\left|AD\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Odcinek $BC$: 

• Pierwsze współrzędne punktów $B$ i $C$ różnią się o $4-2=2$ 
• Drugie współrzędne punktów $B$ i $C$ różnią się o $3-\left(-1\right)=3+1=4$ 

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy:

$\left|AD\right|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$

Obliczamy obwód czworokąta.

$Obw.=7+2+5+2\sqrt{5}=\underline{\underline{14+2\sqrt{5}}}$

Aby obliczyć pole trapezu, obliczmy jeszcze jego wysokość. Na rysunku została ona oznaczona kolorem czerwonym. Widzimy, że ma ona długość $4.$ 

Obliczamy pole czworokąta.

$P=\frac{\left|AB\right|+\left|CD\right|}{2}\cdot h=\frac{7+2}{2}\cdot 4=\frac{9\cdot 4}{2}=\frac{36}{2}=\underline{\underline{18}}$

---

b)

Aby obliczyć obwód i pole trójkąta $ABC,$ narysujemy prostokąt, w którym zawiera się ten trójkąt - tak jak na poniższym rysunku.

Rysunek:

Na rysunku zapisane są długości boków trójkątów prostokątnych, które powstały po dorysowaniu prostokąta.Długości boków trójkąta $ABC$ wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa w powstałych trójkątach prostokątnych.

• Bok $AB$:

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ADB$ otrzymujemy:

$\left|AB\right|=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=\underline{\underline{5\sqrt{2}}}$

• Bok $CB$:

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $CEB$ otrzymujemy:

$\left|CB\right|=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\underline{\underline{\sqrt{34}}}$

• Bok $AC$:

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $CFA$ otrzymujemy:

$\left|AC\right|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot 13}=\underline{\underline{2\sqrt{13}}}$

Obwód trójkąta $ABC$ jest równy:

$Obw{.}_{\text{ABC}}=\underline{\underline{5\sqrt{2}+\sqrt{34}+2\sqrt{13}}}$

Pole trójkąta $ABC$ obliczymy jako różnicę pól prostokąta $ADEF$ i pól trzech trójkątów prostokątnych.  Obliczmy pole prostokąta i trójkątów prostokątnych.

$P_{\text{ADEF}}=6\cdot 7=42$

$P_{△\text{ADB}}=\frac{7\cdot 1}{2}=\frac{7}{2}=3,5$

$P_{△CEB}=\frac{3\cdot 5}{2}=\frac{15}{2}=7,5$

$P_{△\text{AFC}}=\frac{6\cdot 4}{2}=\frac{24}{2}=12$

Obliczamy pole trójkąta $ABC.$

$P_{△\text{ABC}}=P_{\text{ADEF}}-\left(P_{△ADB}+P_{△\text{CEB}}+P_{△\text{AFC}}\right)=42-\left(3,5+7,5+12\right)=42-23=\underline{\underline{19}}$

---

c)

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Dorysowujemy prostokąt w ten sposób, aby czworokąt $ABCD$ był wewnątrz tego prostokąta.

Rysunek:

Z rysunku wynika, że z każdym z czterech boków czworokąta $ABCD$ można zbudować trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $2$ i $3,$ w którym bok czworokąta jest przeciwprostokątną. Oznacza to, że wszystkie boki czworokąta mają taką samą długość, więc czworokąt $ABCD$ jest rombem.  Obliczmy długość boku czworokąta, korzystając z twierdzenia Pitagorasa np. w trójkącie prostokątnym $AGB.$

$\left|AB\right|=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$

Obliczamy obwód czworokąta $ABCD.$

$Obw{.}_{\text{ABCD}}=4\cdot \left|AB\right|=\underline{\underline{4\sqrt{13}}}$

Aby obliczyć pole rombu, wyznaczymy najpierw długości jego przekątnych. 

• Odcinek $AC$:

Wierzchołki $A$ i $C$ mają współrzędne:

$A=\left(-3,-3\right),C=\left(2,2\right)$

Różnica między pierwszymi współrzędnymi punktów $A$ i $C$ wynosi:

$2-\left(-3\right)=2+3=5$

Różnica między drugimi współrzędnymi punktów $A$ i $C$ wynosi:

$2-\left(-3\right)=2+3=5$

Obliczamy długość odcinka $AC.$

$\left|AC\right|=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$

• Odcinek $BD$:

Wierzchołki $B$ i $D$ mają współrzędne:

$B=\left(0,-1\right),D=\left(-1,0\right)$

Różnica między pierwszymi współrzędnymi punktów $B$ i $D$ wynosi:

$0-\left(-1\right)=0+1=1$

Różnica między drugimi współrzędnymi punktów $B$ i $D$ wynosi:

$0-\left(-1\right)=0+1=1$

Obliczamy długość odcinka $BD.$

$\left|BD\right|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Obliczamy pole rombu $ABCD.$

$P_{\text{ABCD}}=\frac{\left|AC\right|\cdot \left|BD\right|}{2}=\frac{5\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=\frac{5\cdot 2}{2}=\underline{\underline{5}}$