Poziom A    

W każdym z poniższych podpunktów odczytujemy najpierw z rysunku $a$  - długość boku trójkąta. Następnie korzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.

a) 

$a=7$ 

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{\frac{7\sqrt{3}}{2}}}$

---

b)

$a=2\frac{2}{5}=\frac{12}{5}$ 

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{12}{5}\sqrt{3}}{2}=\frac{{}^6\cancel{12}}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{{\cancel{2}}_1}=\underline{\underline{\frac{6\sqrt{3}}{5}}}$

---

c)

$a=\frac{1}{3}$ 

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\underline{}=\frac{\frac{1}{3}\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{3}}{6}}}$

---

d)

$a=3,5=\frac{7}{2}$ 

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{7}{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{7}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{\frac{7\sqrt{3}}{4}}}$

---

e)

$a=6$

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{3\sqrt{3}}}$ 

---

f)

$a=1\frac{2}{7}=\frac{9}{7}$ 

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{9}{7}\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{7}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{\frac{9\sqrt{3}}{14}}}$

---

---

    Poziom B    

a)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $30^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\alpha =\underline{\underline{60^{\circ }}}$

Wiemy, że przeciwprostokątna ma długość $3.$ To oznacza, że w trójkącie o takich kątach mamy:

$a=\frac{1}{2}\cdot 3=\underline{\underline{1,5}}$

$b=\underline{\underline{\frac{3\sqrt{3}}{2}}}$

---

b)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $60^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\alpha =\underline{\underline{30^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $c.$ Oznacza to, że

$4=\frac{1}{2}c$i $b=\frac{c\sqrt{3}}{2}$

Obliczamy $c.$

$\frac{1}{2}c=4|\cdot 2$

$c=\underline{\underline{8}}$

Obliczamy $b.$

$b=\frac{c\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{4\sqrt{3}}}$

---

c)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $30^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\alpha =\underline{\underline{60^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $c.$ Oznacza to, że

$a=\frac{1}{2}c$ i $4\sqrt{3}=\frac{c\sqrt{3}}{2}$

Obliczmy najpierw $c.$

$\frac{c\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}|\cdot 2$

$c\sqrt{3}=8\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$c=\underline{\underline{8}}$

Mając $c,$ obliczamy $a.$

$a=\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}\cdot 8=\underline{\underline{4}}$

---

d)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $30^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\alpha =\underline{\underline{60^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość 

$2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Oznacza to, że pozostałe boki w tym trójkącie mają długości

$a=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{4}=\underline{\underline{1\frac{1}{4}}}$

$b=\frac{\frac{5}{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{5}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{\frac{5\sqrt{3}}{4}}}$

---

e)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $60^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\alpha =\underline{\underline{30^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $c.$ Oznacza to, że długości pozostałych boków mają długości

$a=\frac{1}{2}c$ i $\sqrt{3}=\frac{c\sqrt{3}}{2}$

Obliczmy najpierw $c.$

$\frac{c\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}|\cdot 2$

$c\sqrt{3}=2\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$c=\underline{\underline{2}}$

Obliczamy $a.$

$a=\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}\cdot 2=\underline{\underline{1}}$

---

f)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $60^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\alpha =\underline{\underline{30^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $c.$ Oznacza to, że długości pozostałych boków mają długości

$\frac{1}{5}=\frac{1}{2}c$ i $b=\frac{c\sqrt{3}}{2}$

Obliczmy najpierw $c.$

$\frac{1}{2}c=\frac{1}{5}|\cdot 2$

$c=\underline{\underline{\frac{2}{5}}}$

Obliczamy $b.$

$b=\frac{c\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{2}{5}\sqrt{3}}{2}=\frac{{}^1\cancel{2}}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{{\cancel{2}}_1}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{3}}{5}}}$

---

---

    Poziom C    

a)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $60^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\beta =\underline{\underline{30^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $c.$ Oznacza to, że długości pozostałych boków mają długości

$2\sqrt{3}=\frac{c}{2}$ i $b=\frac{c\sqrt{3}}{2}$

Obliczmy najpierw $c.$

$\frac{c}{2}=2\sqrt{3}|\cdot 2$

$c=\underline{\underline{4\sqrt{3}}}$

Obliczamy $b.$

$b=\frac{c\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=\frac{12}{2}=\underline{\underline{6}}$

---

b)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $30^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\beta =\underline{\underline{60^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $4\sqrt{2}.$ Oznacza to, że długości pozostałych boków mają długości

$a=\frac{4\sqrt{2}}{2}=\underline{\underline{2\sqrt{2}}}$

$b=\frac{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=\underline{\underline{2\sqrt{6}}}$

---

c)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $60^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\beta =\underline{\underline{30^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $c.$ Oznacza to, że długości pozostałych boków mają długości

$a=\frac{c}{2}$ i $9=\frac{c\sqrt{3}}{2}$

Obliczmy najpierw $c.$

$\frac{c\sqrt{3}}{2}=9|\cdot 2$

$c\sqrt{3}=18|:\sqrt{3}$

$c=\frac{18}{\sqrt{3}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$c=\frac{18}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=\underline{\underline{6\sqrt{3}}}$

Obliczamy $a.$

$a=\frac{c}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{3\sqrt{3}}}$

---

d)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $30^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\beta =\underline{\underline{60^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $\frac{\sqrt{6}}{2}.$ Oznacza to, że długości pozostałych boków mają długości

$a=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{6}}{4}}}$

$b=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{\sqrt{18}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{18}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{9\cdot 2}}{4}=\underline{\underline{\frac{3\sqrt{2}}{4}}}$

---

e)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $60^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\beta =\underline{\underline{30^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $c.$ Oznacza to, że długości pozostałych boków mają długości

$a=\frac{c}{2}$ i $\sqrt{5}=\frac{c\sqrt{3}}{2}$

Obliczmy najpierw $c.$

$\frac{c\sqrt{3}}{2}=\sqrt{5}|\cdot 2$

$c\sqrt{3}=2\sqrt{5}|:\sqrt{3}$

$c=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

Usuwamy niewymierność z mianownika ułamka.

$c=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\underline{\underline{\frac{2\sqrt{15}}{3}}}$

Obliczamy $a.$

$a=\frac{c}{2}=\frac{\frac{2\sqrt{15}}{3}}{2}=\frac{{\cancel{2}}^1\sqrt{15}}{3}\underline{\underline{}}\cdot \frac{1}{{\cancel{2}}_1}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{15}}{3}}}$

---

f)

Suma kątów w trójkącie jest równa $180^{\circ }.$ Skoro w tym trójkącie są kąty o miarach $90^{\circ }$ i $30^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę

$\beta =\underline{\underline{60^{\circ }}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $c.$ Oznacza to, że długości pozostałych boków mają długości

$\sqrt{12}=\frac{c}{2}$ i $b=\frac{c\sqrt{3}}{2}$

Obliczamy najpierw $c.$

$\frac{c}{2}=\sqrt{12}|\cdot 2$

$c=2\sqrt{12}=2\sqrt{4\cdot 3}=2\cdot 2\sqrt{3}=\underline{\underline{4\sqrt{3}}}$

Obliczamy $b.$

$b=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=\frac{12}{2}=\underline{\underline{6}}$

---

---

    Poziom D   

a)

Skoro w trójkącie jeden kąt jest prosty, a drugi ma $60^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę $30^{\circ }$

Wiemy, że przeciwprostokątna ma długość $2p$ Korzystamy z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$i otrzymujemy, że

• krótsza przyprostokątna ma długość

$2p:2=\underline{\underline{p}}$

• dłuższa przyprostokątna ma długość

$\frac{2p\sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{p\sqrt{3}}}$

---

b)

Skoro w trójkącie jeden kąt jest prosty, a drugi ma $60^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę $30^{\circ }$

Wiemy, że dłuższa przyprostokątna ma  długość $x^2$ Korzystamy z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$i otrzymujemy, że

• krótsza przyprostokątna ma długość

$\frac{x^2}{\sqrt{3}}=\frac{x^2\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{x^2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2$

• przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, więc ma długość

$2\cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}{x}^2}{3}$

---

c)

Skoro w trójkącie jeden kąt jest prosty, a drugi ma $30^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę $60^{\circ }$

Wiemy, że krótsza przyprostokątna ma  długość $m\sqrt{5}$ Korzystamy z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$i otrzymujemy, że

• dłuższa przyprostokątna jest $\sqrt{3}$ razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, czyli ma długość

$m\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\underline{\underline{m\sqrt{15}}}$

• przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, więc ma długość

$2\cdot m\sqrt{5}=\underline{\underline{2\sqrt{5}m}}$

---

d)

Skoro w trójkącie jeden kąt jest prosty, a drugi ma $30^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę $60^{\circ }$

Wiemy, że przeciwprostokątna ma  długość $3a+b$ Korzystamy z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$i otrzymujemy, że

• krótsza przyprostokątna jest $2$ razy krótsza od przeciwprostokątnej, czyli ma długość

$\left(3a+b\right):2=\underline{\underline{\frac{3a+b}{2}}}$

• dłuższa przyprostokątna jest$\sqrt{3}$ razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, więc ma długość

$\frac{3a+b}{2}\cdot \sqrt{3}=\underline{\underline{\frac{\left(3a+b\right)\cdot \sqrt{3}}{2}}}$

---

e)

Skoro w trójkącie jeden kąt jest prosty, a drugi ma $30^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę $60^{\circ }$

Wiemy, że dłuższa przyprostokątna ma  długość $\frac{\sqrt{6}}{2}k$ Korzystamy z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$i otrzymujemy, że

• krótsza przyprostokątna jest $\sqrt{3}$ razy krótsza od dłuższej przyprostokątnej, czyli ma długość

$\frac{\sqrt{6}}{2}k:\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}:\sqrt{3}}{2}k=\underline{\underline{\frac{\sqrt{2}}{2}k}}$

• przeciwprostokątna jest$2$ razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, więc ma długość

$2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}k=\underline{\underline{\sqrt{2}k}}$

---

f)

Skoro w trójkącie jeden kąt jest prosty, a drugi ma $60^{\circ },$ to trzeci kąt ma miarę $30^{\circ }$

Wiemy, że krótsza przyprostokątna ma  długość $xy$ Korzystamy z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$i otrzymujemy, że

• dłuższa przyprostokątna jest $\sqrt{3}$ razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, czyli ma długość

$xy\cdot \sqrt{3}=\underline{\underline{\sqrt{3}xy}}$

• przeciwprostokątna jest$2$ razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, więc ma długość

$2\cdot xy=\underline{\underline{2xy}}$

---

---

     MISTRZ     

a)

Suma miar kątów w czworokącie wynosi $360^{\circ }.$ Wobec tego

$\alpha +90^{\circ }+90^{\circ }+135^{\circ }=360^{\circ }$

$\alpha +315^{\circ }=360^{\circ }|-315^{\circ }$

$\alpha =45^{\circ }$

Na rysunku mamy trapez prostokątny. Narysujmy wysokość tego trapezu poprowadzoną z wierzchołka kąta rozwartego. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Zauważmy, że poprowadzona wysokość podzieliła trapez na kwadrat i trójkąt prostokątny równoramienny, w którym ramię ma długość $5.$

Korzystamy z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$ i otrzymujemy, że druga przyprostokątna ma długość

$a-5=5|+5$

Czyli

$a=\underline{\underline{10}}$

Przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $b.$ Oznacza to, że

$b=\underline{\underline{5\sqrt{2}}}$

---

b)

Suma miar kątów w czworokącie wynosi $360^{\circ }.$ Wobec tego

$\beta +90^{\circ }+90^{\circ }+30=360^{\circ }$

$\beta +210^{\circ }=360^{\circ }|-210^{\circ }$

$\beta =150^{\circ }$

Na rysunku mamy trapez prostokątny. Narysujmy wysokość tego trapezu poprowadzoną z wierzchołka kąta rozwartego. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Zauważmy, że poprowadzona wysokość podzieliła trapez na prostokąt o bokach $c$ i $d$oraz trójkąt prostokątny o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }.$Korzystamy z zależności między długościami boków w trójkącie o takich kątach i otrzymujemy, że krótsza przyprostokątna ma długość

$d=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{\sqrt{3}}}$

Dłuższa przyprostokątna ma długość:

$4-c=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}$

Z powyższego równania obliczamy $c.$

$4-c=\frac{2\cdot 3}{2}$

$4-c=3|-4$

$-c=3-4$

$-c=-1|\cdot (-1)$

$c=\underline{\underline{1}}$

---

c)

Suma miar kątów w czworokącie wynosi $360^{\circ }.$ Wobec tego

$\gamma +90^{\circ }+90^{\circ }+105^{\circ }=360^{\circ }$

$\gamma +285^{\circ }=360^{\circ }|-285$

$\gamma =75^{\circ }$

Zauważmy, że dwa boki czworokąta mają taką samą długość, równą $2.$ Gdy poprowadzimy odcinek łączący kąty o miarach $105^{\circ }$ i $\gamma ,$ to otrzymamy dwa trójkąty - jeden o kątach $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$ i drugi o kątach $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }.$

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Obliczmy długość dorysowanego odcinka. Z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach $45^{\circ },45^{\circ },90^{\circ }$ otrzymujemy, że przeciwprostokątna w tym trójkącie ma długość $2\sqrt{2}.$

Ta przeciwprostokątna jest jednocześnie przeciwprostokątną w drugim trójkącie, którego kąty mają miary $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }.$ Z zależności między długościami boków w trójkącie o takich kątach otrzymujemy, że

$e=\frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=\underline{\underline{\frac{2\sqrt{6}}{2}}}=\sqrt{6}$

$f=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\underline{\underline{\sqrt{2}}}$