Oznaczmy przez d(A, B) liczbę wszystkich najkrótszych możliwych dróg z punktu A do punktu B. Wykonajmy rysunek pomocniczy

Zaznaczyliśmy na schemacie punkty C, D, E, F, G. Przez nie przechodzi każda najkrótsza droga z punktu A do B. Liczba wszystkich takich najkrótszych dróg przechodzących przez C jest równa d(A, C)∙d(C,B) itd. 

Każda najkrótsza droga z A do C składa się z 2 odcinków poziomych i 9 odcinków pionowych. Najkrótszą drogę określa nam wybranie 2 odcinków spośród 11 odcinków, które mają być poziome. Zatem takich dróg jest

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)$  

W takich sam sposób wyznaczamy liczbę pozostałych dróg. Otrzymujemy wtedy

$d\left(A,C\right)\cdot d\left(C,B\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{0}\right)=\frac{11!}{2!\cdot 9!}\cdot 1=\frac{10\cdot 11}{2}=55$  

$d\left(A,D\right)\cdot d\left(D,B\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{1}\right)=\frac{11!}{3!\cdot 8!}\cdot 13=\frac{9\cdot 10\cdot 11}{6}\cdot 13=165\cdot 13=2145$  

$d\left(A,E\right)\cdot d\left(E,B\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{4}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{2}\right)=\frac{11!}{4!\cdot 7!}\cdot \frac{13!}{2!\cdot 11!}=\frac{8\cdot 9\cdot 10\cdot 11}{24}\cdot \frac{12\cdot 13}{2}=330\cdot 78=25740$

$d\left(A,F\right)\cdot d\left(F,B\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{1}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{3}\right)=13\cdot \frac{11!}{3!\cdot 8!}=13\cdot \frac{9\cdot 10\cdot 11}{6}=13\cdot 165=2145$  

$d\left(A,G\right)\cdot d\left(G,B\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{0}\right)\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{11}{2}\right)=1\cdot 55=55$  

Zatem mamy:

$d\left(A,B\right)=55+2145+25740+2145+55=30140$  

Jest 30140 najkrótszych dróg z A do B.