W zadaniu skorzystamy ze wzorów Viète'a. Zacznijmy od założeń, rozwiązania istnieją i są różne jeśli

$\Delta >0$  

${\left(-\left(m-4\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(m^2-4m\right)>0$  

$m^2-8m+16-4m^2+16m>0$  

$-3m^2+8m+16>0$  

${\Delta }_m=8^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot 16=64+192=256,\sqrt{{\Delta }_m}=16$   

$m=\frac{-8-16}{-6}=4\vee m=\frac{-8+16}{-6}=-\frac{4}{3}$  

$m\in \left(-\frac{4}{3},4\right)\left(\ast \right)$  

Zapiszmy opisany w zadaniu warunek, że suma pierwiastków jest mniejsza od podanego wyrażenia.

$x_1+x_2<2m^3-3$  

Korzystając ze wzorów Viète'a

$\frac{-b}{a}<2m^3-3$  

$\frac{m-4}{1}<2m^3-3$  

$m-4<2m^3-3$  

$-2m^3+m-1<0$  

$-2m^3+2m-m-1<0$  

$-2m\left(m^2-1\right)-\left(m+1\right)<0$  

$-2m\left(m-1\right)\left(m+1\right)-\left(m+1\right)<0$  

$\left(m+1\right)\left(-2m\left(m-1\right)-1\right)<0$  

$\left(m+1\right)\underset{\Delta =2^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-1\right)=4-8=-4<0}{\underbrace{\left(-2m^2+2m-1\right)}}<0$  

Zatem

$-2m^2+2m-1<0$  

Stąd

$m+1>0$  

$m>-1$  

Rozwiązanie nierówności to

$m\in \left(-1,+\infty \right)$  

Uwzględniając poprzednie założenia (*) otrzymujemy

$\underline{m\in \left(-1,4\right)}$