W zadaniu skorzystamy ze wzorów Viète'a. Zatem

$1.-\frac{b}{a}=x_1+x_2\wedge 2.\frac{c}{a}=x_1{x}_2$  

Stąd

$\frac{p^2+q^2}{1}=x_1+x_2$  

$p^2+q^2=5+\sqrt{23}+5-\sqrt{23}$  

$p^2+q^2=10$  

Oraz

$\frac{p+q}{1}=\left(5+\sqrt{23}\right)\left(5-\sqrt{23}\right)$  

$p+q=25-23$  

$p+q=2$  

Otrzymujemy układ równań

$\{\begin{array}{l}p+q=2\mid -q\\ p^2+q^2=10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}p=2-q\\ p^2+q^2=10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}p=2-q\\ {\left(2-q\right)}^2+q^2=10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}p=2-q\\ 4-4q+q^2+q^2=10\end{array}$  

Rozwiążemy równanie na q.

$2q^2-4q+4=10\mid -10$  

$2q^2-4q-6=0\mid :2$  

$q^2-2q-3=0$  

${\Delta }_q={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16,\sqrt{{\Delta }_q}=4$   

$q=\frac{2-4}{2}=-1\vee q=\frac{2+4}{2}=3$  

Stąd

$\{\begin{array}{l}q=-1\\ p=3\end{array}\vee \{\begin{array}{l}q=3\\ p=-1\end{array}$