Zapiszmy równanie, które spełnia miejsce zerowe

$f\left(x\right)=0$  

Podstawmy wzór funkcji

$\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)=0$  

$x^2-ax-bx+ab+x^2-bx-cx+bc+x^2-ax-cx+ac=0$  

$3x^2-2ax-2bx-2cx+ab+bc+ac=0$  

$3x^2+\left(-2a-2b-2c\right)x+ab+bc+ac=0\left(\ast \right)$  

Obliczmy

$\Delta ={\left(-2a-2b-2c\right)}^2-4\cdot 3\cdot \left(ab+bc+ac\right)=4a^2+8ab+4b^2+8ac+8bc+4c^2-12ab-12bc-12ac=4a^2-4ab+4b^2-4ac-4bc+4c^2$  

Przekształćmy

$4a^2-4ab+4b^2-4ac-4bc+4c^2=2\left(2a^2-2ab+2b^2-2ac-2bc+2c^2\right)=2\left(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2\right)=\dots$  

Stąd

$\dots =2\left({\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2\right)$  

Zauważmy, że dla każdej liczby rzeczywistej a, b oraz c zachodzi

${\left(a-b\right)}^2\ge 0\wedge {\left(a-c\right)}^2\ge 0\wedge {\left(b-c\right)}^2\ge 0$  

Zatem

$\Delta =2\left({\left(a-b\right)}^2+{\left(a-c\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2\right)\ge 0$  

Co oznacza, że mamy przynajmniej jeden pierwiastek równania (*). Stąd f ma co najmniej jedno miejsce zerowe.

Co należało wykazać.