Wykonajmy rysunek pomocniczy i przyjmijmy oznaczenia jak na nim.

---

Skoro y=2x jest osią symetrii tego trapezu to punkt B znajdziemy wyznaczając obraz w symetrii osiowej punktu A. Wyznaczmy prostą AB prostopadłą do osi symetrii, ma postać

$AB{:}^{}y=-\frac{1}{2}x+b$

Przechodzi przez punkt A, zatem

$$\begin{gathered} \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(-5\right)+b=5 \\ \frac{5}{2}+b=5 \\ b=\frac{5}{2} \end{gathered}$$

A stąd

$AB:y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

Przecięcie się osi oraz tej prostej to punkt F. Mamy

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& y=2x\\ & y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}=2x|+\frac{1}{2}x\\ & y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \frac{5}{2}x=\frac{5}{2}\\ & y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=1\\ & y=-\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{5}{2}\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=1\\ & y=2\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy

$F=\left(1,2\right)$

Punkt F jest środkiem odcinka AB, zatem ze wzoru wyznaczmy współrzędne punktu B.

$$\begin{gathered} \frac{-5+x_B}{2}=1\wedge \frac{5+y_B}{2}=2 \\ -5+x_B=2\wedge 5+y_B=4 \\ {x}_B=7\wedge y_B=-1 \end{gathered}$$

Mamy

$\underline{\underline{B=(7,-1)}}$

---

Analogiczna sytuacja jest dla punktu D. Wyznaczmy prostą CD prostopadłą do osi symetrii, ma postać

$CD:y=-\frac{1}{2}x+b$

Przechodzi przez punkt C, zatem

$$\begin{gathered} \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 8+b=6 \\ -4+b=6 \\ b=10 \end{gathered}$$

A stąd

$CD:y=-\frac{1}{2}x+10$

Przecięcie się osi oraz tej prostej to punkt E. Mamy

$$\begin{gathered} \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& y=2x\\ & y=-\frac{1}{2}x+10\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& -\frac{1}{2}x+10=2x|+\frac{1}{2}x\\ & y=-\frac{1}{2}x+10\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \frac{5}{2}x=10\\ & y=-\frac{1}{2}x+10\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=4\\ & y=-\frac{1}{2}\cdot 4+10\end{array}\end{array} \\ \{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& x=4\\ & y=8\end{array}\end{array} \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy

$E=\left(4,8\right)$

Punkt E jest środkiem odcinka CD, zatem ze wzoru wyznaczmy współrzędne punktu D.

$$\begin{gathered} \frac{8+x_D}{2}=4\wedge \frac{6+y_D}{2}=8 \\ 8+x_D=8\wedge 6+y_D=1 \\ {x}_D=0\wedge y_D=10 \end{gathered}$$

Mamy

$\underline{\underline{D=(0,10)}}$

---

Aby obliczyć pole tego trapezu obliczmy długości jego podstaw.

$$\begin{gathered} \left|AB\right|=\sqrt{{\left(7-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(5-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5} \\ \left|CD\right|=\sqrt{{\left(0-8\right)}^2+{\left(10-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(-8\right)}^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5} \end{gathered}$$

Wysokością jest na przykład odcinek EF. Obliczmy jego długość.

$\left|EF\right|=\sqrt{{\left(4-1\right)}^2+{\left(8-2\right)}^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$

Obliczmy pole ze wzoru

$P_{ABCD}=\frac{1}{2}\left(\left|AB\right|+\left|CD\right|\right)\cdot \left|EF\right|=\frac{1}{2}\left(6\sqrt{5}+4\sqrt{5}\right)\cdot 3\sqrt{5}=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}=15\cdot 5=75$