Naszkicujmy sytuacje opisaną w zadaniu w układzie współrzędnych.

Zauważmy, że jeśli okrąg ma być styczny w punktach A i B do osi układu to wiemy gdzie będzie znajdował się jego środek okręgu. W punkcie styczności promień jest prostopadły do stycznej. Zatem środek jest w punkcie

$S=\left(2,2\right)$

A promień wynosi

$r=2$

Równanie okręgu to

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4$

---

Punkt C leży na okręgu zatem spełnia jego równanie.

$$\begin{gathered} {\left(1-2\right)}^2+{\left(a-2\right)}^2=4 \\ 1+{\left(a-2\right)}^2=4 \\ {\left(a-2\right)}^2=3 \\ a-2=\sqrt{3}\vee a-2=-\sqrt{3} \\ a=2+\sqrt{3}\vee a=2-\sqrt{3} \end{gathered}$$

Zauważmy, że

 $a>1\to a=2+\sqrt{3}$

---

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej SC, która jest prostopadła do l.

$a_{SC}=\frac{2+\sqrt{3}-2}{1-2}=-\sqrt{3}$

Zatem prosta l ma postać

$l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+b$

ponieważ współczynnik kierunkowy jest odwrotny i przeciwny. Przechodzi przez punk C, zatem

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 1+b=2+\sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{3}}{3}+b=2+\sqrt{3} \\ b=2+\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{gathered}$$

Otrzymaliśmy

$l:y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$